matematikk.net

Hvor mange reelle løsninger har ligningen [tex]x^8-x^7+2x^6-2x^5+3x^4-3x^3+4x^2-4x+\frac52=0[/tex] ?

Likningen kan omformes til

$(1) \; 2(x^2 - x)(x^6 + 2x^4 + 3x^2 + 4) = -5$.

Nå er $p(x) = x^6 + 2x^4 + 3x^2 + 4 > 0$ for alle $x$, hviket medfører at $x^2 - x < 0$ ifølge (1), i.e. $x \in (0,1)$. Videre gir (1) at $p(x) = \frac{5}{2(x-x^2)} = q(x)$. Nå er $q'(x) = \frac{5(2x-1)}{2(x-x^2)^2}$, hvilket betyr at $q$ har et minimumspunkt i $(0,1)$ for $x=\frac{1}{2}$. Følgelig er $q(x) \geq q(\frac{1}{2}) = 10$. På den annen side er $p$ strengt voksende i (0,1), noe som betyr at $p(x) < p(1) = 10$. Altså er $p(x) < q(x)$ for alle $x \in (0,1)$. Ergo har likningen (1) ingen reelle løsninger.