matematikk.net

Figuren viser en sirkel med to korder som skjærer hverandre. Buen til den største blå delen er 1/4 av sirkelens omkrets. Tilsvarende er buen til den minste blå delen er 1/5 av sirkelens omkrets. Hva er vinkelen x i grader?

Trekker først linjer mellom skjæringspunktene der kordene treffer sirkelen.
Da får vi to formlike trekanter siden to og to sidevinkler spenner over samme bue. Kall de to andre vinklene i trekantene u og v slik at u
spenner over den øverste buen og v den nederste (sikter til figuren). Siden opplysningene i oppgaven er gitt som forhold kan vi uten
tap av generalitet anta at radien er 1. Dermed er
[tex]2u+2v=2\pi-(\frac{2\pi}5+\frac{2\pi}4)=\frac{11\pi}{10}[/tex]
[tex]u+v=\frac{11\pi}{20}[/tex]

Og videre
[tex]x=\pi-(u+v)=\pi-\frac{11\pi}{20}=\frac{9\pi}{20}[/tex]
Som tilsvarer en vinkel på [tex]81^\circ[/tex]

God oppgave!

Brahmagupta wrote:Trekker først linjer mellom skjæringspunktene der kordene treffer sirkelen.
Da får vi to formlike trekanter siden to og to sidevinkler spenner over samme bue. Kall de to andre vinklene i trekantene u og v slik at u
spenner over den øverste buen og v den nederste (sikter til figuren). Siden opplysningene i oppgaven er gitt som forhold kan vi uten
tap av generalitet anta at radien er 1. Dermed er
[tex]2u+2v=2\pi-(\frac{2\pi}5+\frac{2\pi}4)=\frac{11\pi}{10}[/tex]
[tex]u+v=\frac{11\pi}{20}[/tex]Og videre
[tex]x=\pi-(u+v)=\pi-\frac{11\pi}{20}=\frac{9\pi}{20}[/tex]
Som tilsvarer en vinkel på [tex]81^\circ[/tex]God oppgave!

bra...