matematikk.net

Definer en rekke ved $\displaystyle a_n = \frac{1^p + 2^p + \cdots + n^p}{n^{p+1}} $. Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n $.

jhoe06 wrote:Definer en rekke ved $\displaystyle a_n = \frac{1^p + 2^p + \cdots + n^p}{n^{p+1}} $. Finn grenseverdien $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n $.

La $f(x)=x^p$ og partisjonen $\mathcal{P}_n$ av intervallet $[0,1]$: $\{0,\frac{1}{n}, \frac{2}{n},...,1-\frac{1}{n}, 1\}$. Da kan $a_n$ betraktes som en trappesum som approksimerer arealet under grafen til $f$. Lar vi n gå mot uendelig vil $a_n$ dermed gå mot arealet under $f$, som er $\int_0^1 x^p\,dx=\frac{1}{p+1}$ for $p\neq -1$. (For $p=-1$ vil naturligvis følgen divergere.)