matematikk.net

Løs likninga under:

[tex]\large \arccos(x)-\arcsin(x)=\arccos(\sqrt3 x)[/tex]

Ser at $x = 0$ er ei løsning. Ved å ta cos på begge sider og bruke cosinussetningen
$ \hspace{1cm}
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$
fås
$ \hspace{1cm} \displaystyle
2 \sqrt{ 1 - x^2 } = 2\sqrt{3/4\,}
$
Slik at alle løsninger er $x = 0$ og $x = \pm 1/2$.
==========================================
Addendum: $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Bevis: Ta utgangspunkt i enhetsformelen
$\hspace{1cm} \displaystyle
\cos^2y+\sin^2 = 1 \qquad \qquad \text{(1)}
$
og sett $y = \arcsin(x)$, løs med hensyn på $\cos(\arcsin x)$.
Tilsvarende gjøres for å bestemme $\sin(\arccos x)$, men
da settes følgelig $y = \arccos(x)$ i $(1)$.

jauda...