matematikk.net

La x, y og z være vinklene i en trekant. Hvis a, b og c er trekantens sider, og R er radius til trekantens omskrevne sirkel. Vis da at

[tex]\large \cot(x)+\cot(y)+\cot(z)=\frac{R}{abc}(a^2+b^2+c^2)[/tex]

Lar motstående vinkler til henholdsvis [tex]a,b,c[/tex] være [tex]A,B,C[/tex]

Fra cosinussetningen har vi at [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}[/tex]
Summerer vi denne for [tex]a,b,c[/tex] får vi at
[tex]a^2+b^2+c^2=2bc\cos{A}+2ac\cos{B}+2ab\cos{C}[/tex]

Dermed er
[tex]\frac{R}{abc}(a^2+b^2+c^2)=2R(\frac{\cos{A}}{a}+\frac{\cos{B}}{b}+\frac{\cos{C}}{c})[/tex]

I tillegg er [tex]R=\frac{a}{2\sin{A}}=\frac{b}{2\sin{B}}=\frac{c}{2\sin{C}}[/tex]

Som gir at for [tex]x=a,b,c[/tex] er
[tex]\frac1{\sin{X}}=\frac{2R}{x}[/tex]
og likheten følger.

Walk in the park...
sjølsagt rett...