matematikk.net

La funksjonen $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ inneha følgende egenskaper:

1) $f$ er strengt voksende
2) $f(x)>-\frac{1}{x}$ for alle $x>0$
3) $f(x)\cdot f(\,f(x)+\frac{1}{x})=1$ for alle $x>0$

Finn $f(1)$.

EDIT: 1) var i utgangspunktet feil

Prøver meg på en løsning:

Setter først $x=1$, og får:
$f(1)f(f(1)+1)=1$
Som betyr at:
$f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}$

Bruker så $x=f(1)+1$, og får:
$f(f(1)+1)f(f(f(1)+1)+\frac{1}{f(1)+1})=1$
Bruker så at $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}$.
$f(f(1)+1)f(\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(1)+1})=1$
Trekker sammen brøkene:
$f(f(1)+1)f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=1$
Setter dette lik den første likningen:
$f(f(1)+1)f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=f(1)f(f(1)+1)$
Stryker $f(f(1)+1)$:
$f(\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)})=f(1)$
Bruker at $f$ er injektiv:
$\frac{f(1)+1+f(1)}{f(1)(f(1)+1)}=1$
$2f(1)+1=f(1)^2+f(1)$
$f(1)^2-f(1)-1=0$
løsninger:
$f(1)=\frac12(1-\sqrt 5)$
$f(1)=\frac12(1+\sqrt 5)$

Så langt kommer jeg, om alt er rett til nå klarer jeg ikke åavgjøre hvilken løsning som er riktig, antar at egenskap (2) må brukes.

Det du har gjort er riktig. Beklageligvis har det sneket seg inn en feil i oppgaveteksten, som nå er rettet opp.

Fint, da skal det vell være mulig å identifisere en løsning.

Bruker at $f$ er strengt voksende, og antar $f(1)=\frac12 (1-\sqrt 5)<0$.

Da er $f(1)+1<1$, så vi må ha $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}<f(1)$.

Ganger med $f(1)$ på begge sider og snur ulikheten, og får:

$f^2(1)<1$, som holder siden $f^2(1)=\frac 14(1-\sqrt 5)^2<1$

Gjør det samme med $f(1)=\frac12 (1+\sqrt 5)>0$.

Da må $f(f(1)+1)=\frac{1}{f(1)}>f(1)$.

Som ikke holder siden $f(1)>1$, dermed er $f(1)=\frac12 (1-\sqrt 5)$.

Korrekt!