matematikk.net

En binær operasjon er en operasjon som tar inn to argumenter fra samme mengde og der resultatet også tilhører samme mengde. For eksempel er addisjon en binær operasjon enten en tar fra en mengde med naturlige tall, rasjonelle tall, eller reelle tall.
http://no.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A6r_operasjon

La $ S $ være en mengde, og la $ * $ være en binæroperasjon på $ S $ som tilfredsstiller følgende lover for alle $x, y \in S$:

$ x * ( x * y ) = y $
$ ( y * x ) * x = y $

Vis at $ x * y = y * x $.

Gjør et forsøk, ikke gjort slikt oppgaver før, så usikker på om det stemmer.

Vi har:

$x∗(x∗y)=y$ (1)
$(y∗x)∗x=y$ (2)

Og dette gjelder for alle $x,y \in \mathcal S$. Om $y,v \in \mathcal S$ så er $x=y*v\in \mathcal S$, og setter vi dette inn i (2), og bruker (1) får vi:

$y=(y*(y*v))*(y*v)=v*(y*v)$

om $u\in \mathcal S$, kan vi bruke $y=u*v$, som gir oss:

$u*v=v*((u*v)*v)=v*u$

Som er det vi ønsker.

Det ser riktig ut. Alternativt kan vi også vise det uten å introdusere nye variabler:

$ x * y = y * (y * (x * y)) = y * ( ( x * ( x * y ) ) * ( x * y ) ) = y * x $


Ny oppgave:

La $ S $ være en menge og la $ * $ v're en binær operasjon på $ S $ som tilfredsstiller følgende lover for alle $ x,y,z \in S$ :

$ x * x = x $
$ ( x * y ) * z = ( y * z ) * x $

Vis at $ x * y = y * x $ for alle $ x,y \in S $.

x*y = (x*x)*(y*y) = (x*(y*y))*x = ((y*y)*x)*x = ((y*x)*y)*x = (y*x)*(y*x) = y*x

Korrekt, selvfølgelig.

Ny oppgave:

La $ S $ være en mengde og la $ * $ være en kommutativ ( $ x * y = y * x $ ) og assosiativ ( $ ( x * y ) * z = x * ( y * z ) $ ) binær operasjon på $ S $. Anta at for enhver $ x $ og $ y $ i $ S $ så finnes det en $ z $ i $ S $ slik at $ x * z = y $.

Vis at dersom $ a, b, c \in S $ og at $ a * c = b * c $, så er $ a = b $.

For en gitt [tex]x\in S[/tex] eksisterer [tex]e[/tex] slik at [tex]xe=x[/tex]
[tex]\forall y\in S[/tex] eksisterer [tex]d[/tex] slik at [tex]xd=y[/tex]
Dermed har vi at [tex]ye=xde=xd=y[/tex] så [tex]\forall y \in S[/tex] er [tex]ye=y[/tex]

Videre for en gitt [tex]c[/tex] eksisterer [tex]c'[/tex] slik at [tex]cc'=e[/tex] som gir at hvis [tex]ac=bc \Rightarrow acc'=bcc'\Rightarrow ae=be\Rightarrow a=b[/tex]

Det er lett å vise at enhetselementet e er unikt og at inverser eksisterer og er unike. Så hvis jeg ikke har oversett noe så er vel S en abelsk gruppe.

Dette ser helt riktig ut for meg. Angående abelsk gruppe har ikke jeg snøring på hva det er, men ifølge kilden (se A2) er kommentaren din helt korrekt.

Alle oppgavene du har lagt ut i denne tråden ligger ganske nær grupper.
En gruppe er mengde [tex]G[/tex] med en binæroperasjon [tex]*[/tex] definert på [tex]G[/tex] slik at følgende aksiomer er oppfylt:

1) For alle [tex]a,b,c\in G[/tex] så er [tex](a*b)*c=a*(b*c)[/tex]
2) Det eksisterer et element [tex]e[/tex] slik at [tex]\forall x\in G[/tex] så er [tex]ex=xe=x[/tex]
3) Til enhver [tex]a\in G[/tex] finnes [tex]a'[/tex] slik at [tex]a*a'=a'*a=e[/tex]

I en abelsk gruppe gjelder i tillegg til dette den kommutative loven.

Hadde om gruppeteori forrige semester. Utrolig morsom matematikk!

Så hvis du har en mengde $ G $ som for en eller annen binær operasjon $ * $ tilfredsstiller lovene 1, 2, og 3, så kaller vi $ G $ for en gruppe?

Av det jeg har hørt virker gruppeteori som et spennende emne, som jeg gjerne vil lære mer om. Jeg har til og med gått til anskaffelse av en algebrabok, men dessverre har jeg ikke fått tid til å sette meg inn i den.