matematikk.net

En tønne har radius lik 40 cm på toppen og radiusen er 50 cm på midten. Høyden på tønna er 1,4 meter.
Regn ut volumet av tønna vha integralregning, når sidene antas parabolsk form. Se liten tegning under :=)

Sjekk gjerne svaret vha linken her:

http://www.onlineconversion.com/object_ ... barrel.htm

$\large \hspace{1cm}
V = \cfrac{287 \pi}{3750} \, \text{m}^3
$ ?
Rask "hoderegning" gav
$ \displaystyle \hspace{1cm}
V(a,b,h) := \frac{\pi}{15} \cdot h (a+2b)^2 + \frac{2\pi}{15} \cdot h(a^2+b^2)
$
Der $a$ er minste radius, $b$ er største, og $h$ er høyden av tønna.

Nebuchadnezzar wrote:$\large V = \cfrac{287 \pi}{3750} \, \text{m}^3$ ?

Nei, men så vidt jeg ser i farta er det 25 % for lite. Hvilket betyr vel at du har gjort det riktig...

Er forresten en gammel 3MX eksamensoppgave...

(må gå nå, alarmen går på snart).

Janhaa wrote:

Nebuchadnezzar wrote:$\large V = \cfrac{287 \pi}{3750} \, \text{m}^3$ ?

Nei, men så vidt jeg ser i farta er det 25 % for lite. Hvilket betyr vel at du har gjort det riktig...
Er forresten en gammel 3MX eksamensoppgave...
(må gå nå, alarmen går på snart).

Uff, det jeg mener er:
[tex]V(\text korrekt)=\large V = \cfrac{287\cdot 4 \pi}{3750}[/tex]

Ja.. Tenkte at $a$ og $b$ var diameter og ikke radius av tønna. Så derfor svaret er "feil".
Fiksa opp formelen nå, småflaut ja.

Oppfølger:

Deilig whisky lages ved å lagre whiskyen på eikefat over en lengre periode.
Dessverre er ikke eikefatene helt tette, og ved tidens tann fordamper en del av whiskyen ut.
Dette blir ofte kalt "Angels share". Slik at en tønne som er full ved lagring, har kanskje bare
25% whisky igjen etter 25 år.

La tønnen ligge på siden, en måte å måle mengden whisky i tønnen er å stikke en kjepp ned i tønnen og se hvor høyt whiskyen går. Anta du måler fra midten, og dimensjonene til tønna er som i forrige oppgave.

Bestem en formel for mengde Whisky i tønna, når whiskyen når $z$ cm oppover målepinnen.

Morosam oppgave Nebu, as usual!

Finner en felles radius:[tex]\,\,\,\bar R=0,25*(r+R)=0,25*(0,4+0,5)={9\over 40},\,\,[/tex]
der R>r.

Lager meg så ett tverrsnitt gjennom eikefatet med snadder fra enden. Hvor z er avstanden over bunnen.
På kladden har jeg så 2 rettvinkla trekanter, der Pytagoras' anvendes:

[tex]x^2+(\bar R-z)^2=\bar R^2[/tex]
):
[tex]x=\sqrt{\frac{9}{20}z-z^2},\,\,\,[/tex]
x er horisontal katet.

A(z) er arealet av overflata når Whisky står z meter over bunnen:

[tex]A(z)=A=2*x*L=2,8*x[/tex]
og L = 1,4 m.

endelig
[tex]V(z)=\large\int_o^a A(z)\,dz=2,8\int_o^a \sqrt{{9\over 20}z-z^2}\,dz[/tex]

Oppfølger 2:

Dessverre er det blitt ett høl i Whisky-tønna. Den tappes med en rate på 0,0023 [tex]\,\,\,m^3/s.[/tex]
Hvort fort synker nivået av de edle dråpene i tønna, når Whisky-dybden er 0,25 m?

Dimensjonene til tønna er som over.