Fluks ut av kule

[Innumerate]

Jeg har et spørsmål til følgende oppgave:

Use the Divergence Theorem [[tex]\phi = \oint\oint_S \vec{F}\cdot \vec{n}\,dS=\iiint_B\triangledown \cdot \vec{F}\,dV[/tex]] to calculate the flux of the given vector field out of the sphere S with equation [tex]x^2+y^2+z^2=a^2[/tex], where [tex]a> 0[/tex].

[tex]F=(x^2+y^2)\mathbf{i}+(y^2-z^2)\mathbf{j}+z\mathbf{k}[/tex]

Så langt henger jeg med fasiten:
[tex]\phi =\iiint_B\left [ \frac{\partial }{\partial x}\left ( x^2+y^2 \right )+\frac{\partial }{\partial y} \left ( y^2 -z^2\right )+\frac{\partial }{\partial z}z\right ]\,dV=\iiint_B\left ( 2x+2y+1\right )\,dV[/tex]

Men i følge fasiten er:
[tex]\iiint_B\left ( 2x+2y+1\right )\,dV=\iiint_B1\,dV[/tex]

Mitt spørsmål er: Hvordan kommer man fra [tex]2x+2y+1[/tex] til 1?

[Gustav]

$\iiint xdV=0$. Årsaken er at integranden blir antisymmetrisk i x etter at vi har integrert over y og z. Likeledes for $\iiint ydV=0$. Det er altså symmetrien til integrasjonsområdet som gjør dette. Jeg ville utført dette i detalj hadde jeg vært deg.