matematikk.net

Lille lise på $5$ år bestemmer seg for å lage en iskremmodell.
Modelen er svært enkel og består av to deler.

Første del er kjeksen som har høyde $h$, og danner en vinkel $\alpha$ langs $y$-aksen.
Andre del av isen er selve iskremen, og danner en halvkule på toppen. Se figur



Dett er selvsagt bare et snitt, og isen er selvsagt formet som en kjegle med en halvkule på toppen.

At hele kjeglen er fyllt med is mener Lise er noe urealistisk, slik at hun antar at mengden is som får plass i kjeksen
er en halvkule med samme størrelse som den på toppen av kjeglen.

a) Beregn volumet av isen, og kjeksen.
Hva er den største vinkelen $\alpha$ som er mulig slik at halvkulen med is får plass i kjeglen?

Vesle Per på 7 finner ut hva Lise holder på med og ler av henne. Lise slår per med kladdeboken sin.
Per foreslår at i stedet for å anta at isen består av en stor kule på toppen, er det mer realistisk
å anta at den består av fire små kuler.

Per skisserer raskt hva han mener, i påfølgende figur



Alle kulene har like stor radius $R$.

b) Finn radien til kulene, og bestem igjen volumet til isen.
Hva er nå den største vinkelen $\alpha$ som er mulig?

Lise er sint på veslevoksne per som blander seg inn og roper: Jeg vil ha tre kulel!
og folder hendene morskt.



c) Gjennomfør beregningene i oppgave b), men anta
nå at isen består av tre kuler (og ikke fire) med like stor radius.

Var jo artig oppgave, men føler meg faktisk litt rusten for tida. Prøver meg på a)

finner funksjonen (y) som "beskriver" kjegla; [tex]\large y=\frac{x}{\tan(\alpha)}[/tex]
der [tex]V_1[/tex], slik at

[tex]\large V_1=\pi \int_{o}^{h\tan(\alpha)}\frac{x^{2}}{\tan^2(\alpha)}\,dx[/tex]

[tex]\large V_1=\frac{\pi}{3}h^{3}\tan(\alpha)[/tex]
===
V_2 for halvkula: funksjonen er: [tex]\large y_2=\sqrt{R^2-x^2}[/tex]

[tex]\large V_2=\pi \int_{o}^{h\tan(\alpha)}(R^2 - x^{2})\,dx=\pi\left[R^2x-{1\over 3}x^3\right]_o^{h\tan(\alpha)}[/tex]

[tex]\large V_2=\frac{2\pi}{3}h^{3}\tan^3(\alpha)[/tex]
der
[tex]\large V_{tot}=\pi h^{3}\tan(\alpha)[/tex]

edit: surr

V_1 er sjølsagt utregna feil, lett å sjekke (hvilket jeg ikke gjorde).
bruker at[tex]\,\,x = y\tan(\alpha)[/tex]
og roterer om y-aksa fra 0 til h

[tex]\large V_1=\pi\int_o^h x^2\,dy=\pi \int_{o}^{h} y^2{\tan^2(\alpha)}\,dy[/tex]

[tex]\large V_1=\frac{\pi}{3}h^{3}\tan^2(\alpha)[/tex]
og
[tex]\large V_2=\frac{2\pi}{3}h^{3}\tan^3(\alpha)[/tex]
derfor er
[tex]\large V(tot)=\frac{2\pi}{3}h^{3}\tan^3(\alpha)+\frac{\pi}{3}h^{3}\tan^2(\alpha)[/tex]
====
største største vinkelen som alfa må ha:

[tex]\frac{dV}{d \alpha}=0[/tex]

fortsetter seinere