003 wrote:espen180 wrote:Vil du ha et forsprang på universitetsmatten, eller vil du ha en mer avslappet bok?
Hvis det første, så er nok Lindstrøm midt i blinken for deg. Hvis det andre, ta en titt på "Basic Mathematics" av Serge Lang.
http://www.amazon.com/Basic-Mathematics ... 0387967877
Jeg pleier å anbefale denne til ungdomsskoleelever og videregåendeelever som vil ha en smak av hvordan ordentlig matte ser ut. Hvis den ikke ser altfor lett ut for deg, kan du jo prøve den. Hvis en er for lett, kan det hende du bør lese Lindstrøm likevel.
Hei, har lest litt rundt på forumet og forstått det slik at det beste er å få på plass alt det fundamentale og bygge på det. Og så er jeg jo interessert i å vite det som er å vite helt opp til ingeniørnivået, som er mitt mål i det fjerne. Planen er å tilegne meg hele pensumet til forkurset før jeg begynner på det, så får det ta den tiden det tar. Derfor har jeg laget en liste over bøker jeg skal bestille til uka. Det er "Hva er matematikk?" av Lisa Lorentzen, forhåpentligvis for å få en bedre forståelse av matematisk tankegang. Så er det "Grunnleggende matematikk i skoleperspektiv" av Arne Hole. Så lurer jeg på om jeg skal legge til "Basic mathematics" som du anbefalte. Har du noen erfaringer med de andre bøkene jeg nevnte? Lurte på om det er en fin overgang fra disse bøkene til "Kalkulus" av Tom Lindstrøm, eller om det er noen andre bøker du anbefaler i mellom?
Synes bøker som Sigma og Sinus osv. er fine å ha for å følge pensum og for å løse oppgaver, men har problemer med forståelsen, eller jeg vet ikke helt hva som menes med å forstå. Menes det at man klart ser for seg de matematiske uttrykkene mentalt? Slik som man lærer på skolen for å ta et enkelt eksempel, "minus ganger minus blir pluss". Det ser jeg ikke er forståelse. Jeg vet at det blir pluss, fordi man leser det som "minus gjeld". Ikke at jeg foreløpig har lagt så mye arbeid i å forstå akkurat dette, men hva tenker dere når dere ser at det blir pluss? Vet dere det fra før av og bare ser to minustegn og regner ut, eller "ser" dere på en måte bevisene for det hver gang? Eller hvordan vil dere forklare det, spesielt på de mer kompliserte eksemplene som derivasjon og integrasjon?
Jeg synes du tar opp et meget viktig punkt. Det er faktisk veldig få som
forstår hvorfor $\displaystyle (-1)\cdot(-1)=1$ og det er ikke noe som undervises på høyere nivå, fordi alle skal bare vite det.
Hvis du er ute etter å forstå dette, så starter man med å se på subtraksjon som bare addisjon. Det er jo det det er. $\displaystyle 2-2 = 2+(-2) = 0$. Altså en subtraksjon ER bare en addisjon, men med negativt tall.
Så vet du sannsynligvis hva multiplikasjon er. Det er bare gjentatt addisjon. Altså $\displaystyle 2+2+2+2+2 = 2\cdot5$. Slik har vi definert multiplikasjon. Vel, hvis vi nå introduserer et negativt tall, og vil multiplisere $\displaystyle (-2) \cdot 5$ så vil det per definisjon bare bli å addere (-2) fem ganger. $\displaystyle (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2) = -2-2-2-2-2= (-2)\cdot 5 = -10$. Igjen, dette er bare repetetiv addisjon.
Dette kan vi utvide videre til to negative tall.
Har vi $\displaystyle (-2)\cdot(-5)$ så ser vi at -5 forteller oss at vi skal subtrahere noe 5 ganger. Og hva skal vi subtrahere? Det er (-2).
$\displaystyle -(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)$. Herfra lener vi oss på at å subtrahere et negativt tall er det samme som å addere, slik at vi får $\displaystyle (-2)\cdot(-5)= 2+2+2+2+2 = 10$ som riktignok er positivt.
Hvis man ikke er helt på bølgelengde med at å subtrahere et negativt tall blir å addere den positive, så er det noe som må bygges under. Som du sier, på forumet her så legger vi vekt på at vi mestrer et konsept før vi bygger videre på det.
Og bare for å kjapt gjennomgå det i tilfelle det ikke er intuitivt at $\displaystyle 0-(-2) = 0+2 = 2$ så ser vi på det som at når vi har $\displaystyle x-x$ så skal dette alltid bli 0, fordi hvis du har en verdi, og du trekker fra den nøyaktige verdien, så skal du ha 0 igjen.
Så hvis du har (-2)kr. (som du har lært å se på som gjeld, og det er et fint eksempel), så vil jeg prøve å hjelpe deg, og sørge for at du ikke står i gjeld. Jeg vil med andre ord hjelpe deg å få 0. Så jeg gir deg $\displaystyle -(-2)$kr. Hvorfor? Fordi $\displaystyle x-x=0$ som betyr at $\displaystyle (-2)-(-2) = 0$. Men vi vet at i realiteten så er dette det samme som at jeg gir deg 2kr. Altså addisjon av positivt tall. Herfra ser vi overgangen fra dobbel negativ til positiv, sant?
Samtidig vet vi at det å addere et tall med sin egen negativ også blir 0. Så vi vet at $\displaystyle 2+(-2)=0$ eller at $\displaystyle (-2)+2=0$ (fordi 2 er den negative av -2). Derfra ser man at $\displaystyle (-2)-(-2) = (-2)+2=0$
Når det gjelder hvorvidt man tenker slik hver gang? Jeg gjør ikke det. Jeg ser dobbel negativ, og tenker positiv. Jeg går ikke gjennom hele denne tankeprosessen hver gang. Det er fordi denne tankeprosessen bygger på enda mer matematikk, og slike konsepter er bygd på ideen om at matematikk skal være konsekvent, altså at dette skal gjelde FORDI vi vet av et enklere konsept.
Når det gjelder derivasjon og integrasjon, så er det også eksempler på ting som bygger på tidligere kunnskap. Har et prinsipielt "bevis" for derivasjon her:
http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... ivasjon-53
Hovedsaklig så bygger det bare på det man allerede skal vite om stigningstallet til rette linjer, så utvider man det til å gjelde også for kurver.
Når det gjelder integrasjon, så har jeg ikke fått fingeren ut av ræva enda, men det kommer vel en dag det også
Og ja, det å lære seg konsepter på denne måten, altså å forstå hvor slike ting kommer fra, gir deg en enorm fordel i ingeniørstudier. (Kilde: Jeg er ingeniørstudent.) Matematikk er überviktig i alle grener av ingeniørstudier. Også på høyskolen/universitet får man slengt formlene i trynet og blir bedt om å bare ta dem i bruk. Ofte fordi læreren ikke har tid til å gjennomgå bevisene (stort pensum, lite tid), eller fordi læreren ikke føler at elevene får noe ut av det (fordi de muligens ikke har grunnlaget), eller fordi læreren selv ikke er helt stødig på beviset.
Jeg hadde bare kalkulus som mattefag første semester, så neste semester fikk vi en grundig gjennomgang av logikk og bevisteknikker. Burde vært omvendt, da det jeg hadde fra R2 om bevis var alt for tynt.