Jeg synest egenlig denne oppgaven var relativt enkel. Slik løste jeg den:
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrives som[tex]O(v) = 2D \cdot cos(v) + 2D \cdot sin(v)[/tex]. Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet [tex]A(v)[/tex] av rektangelet.
Vi vet at omkretsen av et rektangel med sidene x og y kan skrives som:
[tex]O = x+x+y+y = 2x+2y[/tex]
Fra elementær trigonometri vet vi at i en rettvinklet trekant der diagonalen har lengde lik D og der v er vinkelen mellom diagonalen og hosliggende katet, så vil vi ha:
lengde hosliggende katet = [tex]D \cdot cos(v)[/tex]
lengde motstående katet = [tex]D \cdot sin(v)[/tex]
Fra dette skjønner vi sammenhengen.
Deretter finner vi funksjonsuttrykk for arealet. Arealet av et rektangel med sider x og y er gitt ved:
[tex]A=xy[/tex]
Vi bruker sammenhengen vi viste lenger oppe, og får:
[tex]A(v)=D^{2}sin(v)cos(v)[/tex]
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat. Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Vi starter enkelt å greit med å derivere O(v):
[tex]O'(v) = -2D \cdot sin(v) + 2D \cdot cos(v) = 2D \left( cos(v) - sin(v) \right)[/tex]
Vi ser at [tex]O'(v)=0[/tex] når [tex]cos(v)=sin(v)[/tex]. Vi har en rettvinklet trekant og da sier det seg selv at vi må ha [tex]v \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex]. Løsning når [tex]x=\frac{\pi}{4}[/tex], og da får vi:
[tex]O(\frac{\pi}{4}) = 2D \cdot cos(\frac{\pi}{4}) + 2D \cdot sin(\frac{\pi}{4}) = 2D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}D[/tex]
Er den største omkretsen.
Oppgave c kan vises på samme måte. Ble litt hastig det her, men satser på at jeg TeX-et riktig i farta.
