matematikk.net

Jeg har prøvd å søke litt rundt for å finne svar på denne oppgaven, men finner det ikke.
Jeg skal finne konvergensområdet for -1<cosx<1
Først setter jeg opp de 2 ulikhetene:
cosx>-1 og cosx<1.

Så bruker den generelle løsningen for cosinus og får: På den første får jeg at x>pi, og på den andre får jeg at x<0, x<2pi. Snittet av disse blir pi<x<2pi. Dette er feil ifølge fasiten, som sier 0 < x < 2π, x ≠ π.
Hva har jeg gjort feil?

cos(x) er ALLTID mellom -1 og 1.

dudedude wrote:Jeg har prøvd å søke litt rundt for å finne svar på denne oppgaven, men finner det ikke.
Jeg skal finne konvergensområdet for -1<cosx<1
Først setter jeg opp de 2 ulikhetene:
cosx>-1 og cosx<1.

Så bruker den generelle løsningen for cosinus og får: På den første får jeg at x>pi, og på den andre får jeg at x<0, x<2pi. Snittet av disse blir pi<x<2pi. Dette er feil ifølge fasiten, som sier 0 < x < 2π, x ≠ π.
Hva har jeg gjort feil?

Lurer litt på hva du mener med konvergensområde i denne sammenhengen. Begrepet er jo vanligvis knyttet til uendelige rekker, ikke enkeltfunksjoner. Har du uttrykt cosinus som en Taylorrekke eller noe i den dur?

Han mener summen av en uendelig og konvergerende geometrisk rekke der k = cosx. Da er alltid konvergensområdet -1 < k < 1, som en kan utlede ved å se på den generelle formelen for summen av en geometrisk rekke.

[tex]cosx > -1 , x > \pi + 2\pi \cdot n[/tex]

[tex]cosx < 1, x < 2\pi \cdot n[/tex]

x kan jo ikke være lik [tex]\pi[/tex], for da er jo cosx = -1 (husk at den skulle være større enn -1). Dessuten kan den heller ikke være lik [tex]2\pi[/tex]eller 0, for da er cosx = 1 (husk at den skulle være mindre enn dette).

Dermed kan intervallet i første omløp (som jeg antar oppgaven understreker?) skrives slik: [tex]0 < x < 2\pi, x \ne \pi[/tex]

Oppgaven dreier seg om en uendelig rekke, og jeg glemte å skrive at det var i første omløp, beklager. Takk for svar, skjønte det nå:)