matematikk.net

Finn alle funksjoner slik at $f(f(x)+y) = f(x^2-y)+4yf(x)$ for alle reelle x,y.

La $x \in \mathbb{R}$ og velg $y = \frac{x^2 - f(x)}{2}$. Da er $f(x) + y = x^2 - y$, som igjen betyr at funksjonallikningen

$(1) \;\; f(f(x) + y) = f(x^2-y) + 4yf(x)$

reduseres til $4yf(x)=0$, dvs. $y = 0$, i.e. $f(x)=x^2$, eller $f(x)=0$ for alle $x \in \mathbb{R}$, i.e. $f(x) \equiv 0$.

Konklusjon: Funksjonallikningen (1) har kun løsningene $f(x) \equiv 0$ og $f(x)=x^2$.

Tror du trenger å argumentere litt mer for hvorfor f(x) må være identisk lik 0. Det er ikke gitt at f er kontinuerlig i oppgaven.