matematikk.net

Leste litt om figurtall nå, og så et lite mønster som jeg tenkte å sjekke ut. Definerer først figurrekken som en r-simplex på samme måte som her: http://en.wikipedia.org/wiki/Figurate_n ... ar_numbers. La r være graden av rekken.

For de først rekkene har vi:
Lineære tall(1-simplex): 1 - 2 - 3 osv
Trekanttall(2-simplex): 1- 3 - 6 - 10 osv
Tetrahedertall(3-simplex): 1 - 4 - 10 - 20 -35 osv
Pentatope number (4-simplex): 1 - 5 -15 - 35 - 70 - 126 osv

For alle disse finnes sammenhengen

[tex]T_{r+2}=T_1+T_2+...+T_{r+1}[/tex]

Oppgaven er da å vise eller motbevise at det finnes en slik generell sammenheng

Med mindre jeg misforsto vil du frem til at for en r-simplex er

${2r+1\choose r}=\sum_{n=1}^{r+1}{n+r-1 \choose r}$ (med definisjonen ${n\choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$)

Det er nok å vise identiteten

1) $\sum_{k=0}^{m} {n+k\choose n } ={n+m+1\choose m}$ for et vilkårlig gitt positivt heltall n.

Bevis ved induksjon:

For m=0 er 1=1, så det er OK.

Anta at formelen er riktig for en gitt m. Da er $\sum_{k=0}^{m+1} {n+k\choose n } ={n+m+1\choose m}+{n+m+1\choose n }=\frac{m+1}{n+m+2}{n+m+2\choose m+1}+\frac{n+1}{n+m+2}{n+m+2\choose m+1 }={n+m+2\choose m+1}$, så formelen er riktig for m+1.

Ved å la m=n=r i formel 1) og foreta et variabelskifte i indeksen til summen, fås det vi ønsker å vise for en r-simplex.

Ser flott ut det der