matematikk.net

Finn alle positive heltall $x,y$ som tilfredsstiller ligningen

\begin{equation*}
1+x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2
\end{equation*}

Den diofantiske likningen

$(1) \;\; 1 + x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2$

kan via substitusjonen $a = x + \frac{3}{2}$ omformes til

$(2) \;\; y^2 = 1 + (a - \frac{3}{2})(a - \frac{1}{2})(a + \frac{1}{2})(a + \frac{3}{2}) = 1 + (a^2 - \frac{9}{4})(a^2 - \frac{1}{4}) = a^4 - \frac{5}{2}a^2 + \frac{25}{16} = (a^2 - \frac{5}{4})^2.$

Nå er

$(3) \;\; a^2 - \frac{5}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4} = x^2 + 3x + 1$.

Ved å kombinere (2) og (3), får vi at den generelle løsningen av (1) er

$x= n, \: y = \pm (n^2 + 3n + 1)$,

der $n$ er et vilkårlig heltall.