matematikk.net

Konstruér en rettvinklet trekant med hypotenus $c$ og kateter $a$ og $b$ slik at avstanden fra midtpunktet på hypotenusen til det rettvinklede hjørnet er $\sqrt{ab}$.

Tolker jeg oppgaven rett hvis jeg sier gitt en lenge c konstruer en rettvinklet trekant slik at avstanden fra det rettvinklede hjørnet til
midtpunktet på hypotenus er roten av produktet av katetene? Evt. kan jeg ta utgangspunkt i en av katetene?

Altså det virker som oppgaveteksten sier at alle sidelengdene er gitt, men det gir jo ingen mening siden trekanten da vil være bestemt.

Jeg prøver meg på denne tolkningen ihvertfall.

Kaller hjørnene A, B, C hvor de motstående sidene har lengde a,b,c og den rette vinkelen er C.
I en rettvinklet trekant vil alltid avstanden fra midtpunktet av [tex]AB[/tex] til [tex]C[/tex] være [tex]\frac{c}2[/tex]. Dette følger
av at midtpunktet på [tex]AB[/tex] vil være sentrum i den omskrevne sirkelen. Dermed er

[tex]\sqrt{ab}=\frac{c}2=\sqrt{\frac{a^2+b^2}4}[/tex]

[tex]a^2+b^2-4ab=0[/tex]
Deler på [tex]a^2[/tex] og løser andregradligningen for forholdet [tex]\frac{b}{a}[/tex]

Dette gir at [tex]b = (2+\sqrt3)a[/tex] og videre at [tex]c^2=a^2+b^2=a^2 + (2+\sqrt3)^2 a^2=2(4+2\sqrt3)a^2=2(1+\sqrt3)^2 a^2[/tex]
Dermed er [tex]a = \frac{c}{\sqrt2(\sqrt3+1)}=\frac{(\sqrt3-1)c}{2\sqrt2}=\frac14 (\sqrt6-\sqrt2)c[/tex]

Nå gjenstår det å konstruere lengden a ut fra c. Når det er gjort kan trekanten konstrueres ved å avsette linjestykket BC lik a, konstruere en normal i C og
deretter slå av avstanden c fra B på normalen med passer hvilket gir punktet A.

Alle trekantene under som konstrueres fra lengden på hypotenus og en katet bruker også denne metoden. Hvis trekanten skal konstrueres fra katetene settes først av linjestykket BC, konstruerer en normal i C og slår av den andre katetens lengde på denne hvilket gir punktet A. Så trekkes linjestykket AB.

Skal konstruere [tex]\frac14(\sqrt6-\sqrt2)c[/tex] gitt linjestykket c.

Konstruerer først [tex]\sqrt6 c[/tex] og deretter [tex]\sqrt2 c[/tex]

Konstruerer en rettvinklet trekant med hypotenus 2c og en katet lik c. Da er den andre kateten [tex]\sqrt{2^2-1^2}c=\sqrt3c[/tex]
Konstruere videre en rettvinklet likebeint trekant fra denne kateten. Altså begge katetene har lengde [tex]\sqrt3c[/tex].
Da er hypotenusen lik [tex]\sqrt2\sqrt3 c=\sqrt6 c[/tex] og denne lengden er funnet.

For å konstruere [tex]\sqrt2 c[/tex] tar jeg utgangspunkt i en likebeint, rettvinklet trekant med kateter c, da vil hypotenusen være [tex]\sqrt2 c[/tex]
Avsetter så dette linjestykket på det første funnet, da vil differansen være 4a. Halverer så dette linjestykket to ganger for å finne a. Da kan trekanten konstrueres
gitt ved oppskriften ovenfor.

Beklager formuleringens forvirrende karakter, men det er hypotenusen c som er gitt, ja.

Dette var forresten en IMO-oppgave, problem 4 fra 1959..

Jeg tok en titt på en løsning av oppgaven og ser at dette ble unødvendig komplisert.
Det kom av at jeg begynte med å ta utgangspunkt i en av katetene og løste det derfra, og deretter bare snudde resonnementet
til å starte fra hypotenusen. Men siden det er hypotenusen som er gitt kan man jo ta utgangspunkt i en sirkel med radius [tex]\frac{c}2[/tex]
også holder det å innse at høyden må være en [tex]\frac{c}4[/tex] utifra sammenhengen som er gitt.