matematikk.net

Sliter med å få riktig svar på denne diffligningen:
t[sup]2[/sup]y''(t) + 3ty'(t) - 3y(t) = 1/t

Her er et forsøk:

Løsninger til homogen ligning:
y[sub]1[/sub](t) = t, y[sub]2[/sub](t) = t[sup]-3[/sup]

så partikulærløsningen blir:
y = y[sub]1[/sub](t)v[sub]1[/sub] + y[sub]2[/sub](t)v[sub]2[/sub]

[tex]v_1 =\int \frac{-y_2(t)g(t) dt}{y_1(t)\dot{y}_2(t) - \dot{y}_1(t)y_2(t)}= \int \frac{-\frac{1}{t^3}\cdot \frac{1}{t} dt}{t \cdot \frac{-3}{t^4} - \frac{1}{t^3}} = \int \frac{-\frac{1}{t^4}dt}{-\frac{4}{t^3}} = \int \frac{1}{4t}dt = \frac{1}{4}lnt [/tex]

[tex]v_2 = \int \frac{y_1(t)g(t) dt}{y_1(t)\dot{y}_2(t) - \dot{y}_1(t)y_2(t)} = \int \frac{t \cdot \frac{1}{t}}{-\frac{4}{t^3}} dt = \int \frac{1}{-4t^{-3}} dt = \int -\frac{1}{4} t^3 dt = -\frac{1}{16}t^4[/tex]

Generell løsning:
[tex]y = y_h + y_p = c_1t + c_2t^{-3} + t\cdot \frac{1}{4}lnt - \frac{1}{16}t[/tex]

Fasit sier:
[tex]y = c_1t + c_2t^{-3} - \frac{1}{4}t^{-1}[/tex]

Så eeeeh, dette blir jo ganske så feil?

Hei igjen! Bra start her også.

Du har gjenkjent at det vil være en polynomløsning av typen t[sup]n[/sup]
og fått likninga n[sup]2[/sup] + 2n - 3 = 0, som gir[tex] n_1 = 1[/tex] og [tex]n_2 = -3[/tex], som gir de homogene løsningene [tex]y_1(t) = t^{n_1} = t[/tex] og [tex]y_2(t) = t^{n_2} = t^{-3}[/tex]

Så har du fått rett verdi for Wronskian:
[tex]W(y_1, y_2) = y_1 \cdot y_2^, - y_2 \cdot y_1 ^, = -4 t^{-3}[/tex]

Du har en liten feil i beregning av [tex]v_1[/tex] og [tex]v_2[/tex]. Du bruker g(t) rett fra den opprinnelige differensiallikninga. Det er forståelig, da noen lærebøker er uklare i notasjonen her. Du må dele g(t) på koeffisienten til y'', dvs du må benytte [tex]g^*(t) = \frac{g(t)}{t^2}=t^{-3}[/tex].

Det gir [tex]v_1 = -\frac{1}{8}t^{-2}[/tex] og [tex] v_2 = -\frac{1}{8}t^2[/tex]

Den partikulære løsningen blir da:
[tex]y = y_1 \cdot v_1 + y_2 \cdot v_2 = t\cdot (-\frac{1}{8}t^{-2}) + t^{-3} \cdot (-\frac{1}{8}t^2) = -\frac{1}{4}t^{-1}[/tex]

Generell løsning blir derfor som gitt i fasiten.