matematikk.net

Som alltid så er matte lærerne på skolen drittsekker som ikke ønsker å gi noen 6'er og gir derfor prøver som er stappfulle med for mange oppgaver i forhold til en økts prøve og med en vanskelig oppgave til slutt slik at ingen av oss skal klare det, men nok om det.

Oppgaven lyder slik:

[symbol:funksjon] (x)= -2x^2+kx+4

a) hva må verdien av k være for at x = 1

b) hva må verdien av k være for y-verdien har et bunnpunkt = -4

Mangler du noe på a? For x = 1 kan du ha uansett. Jeg antar at du skal finne når x = 1 gir f(x) = 0? Altså at x = 1 blir rot til uttrykket.

Det kan du gjøre ved å sette inn x = 1, og løse likningen f(1) = 0, da har du kun k som ukjent.

På b så må du derivere f(x), hva har dette å si for funksjonen f(x)?

fuglagutt wrote:Mangler du noe på a? For x = 1 kan du ha uansett. Jeg antar at du skal finne når x = 1 gir f(x) = 0? Altså at x = 1 blir rot til uttrykket.

Det kan du gjøre ved å sette inn x = 1, og løse likningen f(1) = 0, da har du kun k som ukjent.

På b så må du derivere f(x), hva har dette å si for funksjonen f(x)?

a) virker logisk for meg, men du nevner derivasjon i b).
Problemet er at vi ikke har lært derivasjon ennå

Ah, det finnes en spesialformel for bunnpunkt i 2. gradslikninger, men jeg skal skrive litt om derivasjon før jeg viser deg den:)

Den deriverte av en funksjon sier hvor fort en funksjon stiger eller synker. F.eks vil funksjonen f(x) = x ha en derivert f'(x) = 1, som du også kan se rett ut av grafen.

Tilbake til topp- og bunnpunkter. Ta en titt på en tilfeldig graf som har et topp eller bunnpunkt. Legg merke til stigningstallet i dette punktet. Du ser at grafer hverken stiger eller synker i et slikt punkt, altså må den deriverte i et slikt punkt være 0. Nå skal du få formelen din

Vi har en generell annengradsfunksjon [tex]f(x) = ax^2+bx+[/tex] der a,b og c er konstanter. Dette gir en derivert (du lærer reglene for dette senere) lik;
[tex]f\prime(x)=2ax+b [/tex] Som tidligere nevnt har du et topp/bunnpunkt der f'(x) = 0, dette gir oss;
[tex]2ax+b = 0[/tex]

[tex]2ax = -b[/tex]

[tex]x = \frac{-b}{2a}[/tex]

Og det er formelen for et slikt punkt for en annengradslikning, noen idéer om hva du kan gjøre videre da?:)

Denne funksjonen vil aldri ha noe bunnpunkt, uansett k-verdi. Med minus forran andregradsleddet vil denne parabelen "se ut som en U som står på hodet". k-vedrien vil kun bidra til å gjøre den høyere/lavere og noe forskyvning til høyre/venstre lange x-aksen. For k=0 blir den sentrert om y-aksen, og har et toppunkt i (0, 4).

Auch, det stemmer jo selvfølgelig, tenkte ikke over det engang

Man kan for øvrig finne topp/bunnpunkter til andregradsfunksjoner uten å kunne derivasjon.

Pågrunn av symmetrien til en andregradsfunksjon vil topp/bunn punkt ligge midt mellom nullpunktene. Så hvis
[tex]f(x) = (x-x_1)(x-x_2)[/tex]

Så er topp/bunn punktet [tex]\frac12(x_1+x_2),f(\frac12(x_1+x_2))[/tex]

Det er lett å finne et fint uttrykk for dette ved å bruke andregradsformelen!

Brahmagupta wrote:Man kan for øvrig finne topp/bunnpunkter til andregradsfunksjoner uten å kunne derivasjon.

Pågrunn av symmetrien til en andregradsfunksjon vil topp/bunn punkt ligge midt mellom nullpunktene. Så hvis
[tex]f(x) = (x-x_1)(x-x_2)[/tex]

Så er topp/bunn punktet [tex]\frac12(x_1+x_2),f(\frac12(x_1+x_2))[/tex]

Det er lett å finne et fint uttrykk for dette ved å bruke andregradsformelen!

jeg kom ikke videre med andregradsformelen. Det var den jeg tenke først på da jeg leste oppgaven. b^2-4ac = 0 , men da blir det slik b^2= -32 , og det går ikke

Ser ikke helt hvorfor du setter [tex]b^2-4ac=0[/tex]
det er kun tilfellet hvis nullpunktene faller sammen.

Det jeg tenkte på var følgende:
Nullpunktene til et andregradsuttrykk er gitt ved
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

Da blir [tex]\frac12(x_1+x_2)=\frac{-b}{2a}[/tex]
Dett pågrunn av at pluss/minus leddet vil falle bort.

Dermed er bunnpunktet [tex](-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))[/tex].

Denne utledningen forutsetter at funksjonen faktisk har nullpunkter noe
som ikke alltid er tilfellet, selv om dette resultatet gjelder generelt.

Kan ta med en annen utledning som ikke bygger på dette.

La [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Antar at a er større enn null. Da vil den hule siden peke oppover og funksjonen må nødvendigvis ha et bunnpunkt. Dette er ikke tilfellet i oppgaven din siden a=-1 og det finnes ikke noe bunnpunkt som
KonFuTzed bemerket.

Da er [tex]f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})[/tex]
[tex]= a(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})[/tex]

Her har jeg bare lagt til og trukket fra [tex](\frac{b}{2a})^2[/tex] inne
i parentesen.

[tex]=a((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})[/tex]

Dette uttrykket består av et kvadrat med variabelen x og en konstant..
Siden et kvadrat alltid er større eller lik null får hele uttrykket sin minste verdi når kvadratet er null. Altså:

[tex](x+\frac{b}{2a})^2=0[/tex]
[tex]x = -\frac{b}{2a}[/tex]

Dermed vil funksjonen ha bunnpunkt for denne x-verdien. Evt toppunkt hvis a er mindre enn null. Denne teknikken med å skrive om til kvadrater kan være veldig hjelpsom når man skal finne største eller minste verdi av et uttrykk.

Hvis dette bare ble forvirrende så er det ikke så viktig, løsningen til oppgaven din ligger i KonFuTzed sitt innlegg.

Aha, jeg skønte faktisk det dere skrev alle sammen, men ikke alt selvfølgelig.
Men betyr det da at denne løsningen for a) ikke funker?

f(x)= -2x^2+kx+4

f(-1)= -2*(-1)^2+k*(-1)+4

-1 = -2-k+4

k = 4-2+1

k= 3 ?

Det er feil i både a) og b) i denne oppgaven.

I a) mangler det noe, som fuglagutt påpeker i sitt første svar. Når du har gitt f(x) så får du x=1 ved å sette inn x = 1 i funksjonen, dvs beregne f(1). Det hjelper deg alikevel ikke til å bestemme k, siden det kun er et funksjonsuttrykk, ikke ei likning. Du mangler høyre side.

f(x) = -2x[sup]2[/sup] + kx + 4 = ??????

Hvis spørsmålet hadde vært: "Hva må k være for at f(1) = 0", så kunne oppgaven vært løst, for da hadde vi ei likning:

f(1) = 0
=> f(1) = -2*1[sup]2[/sup] +k*1 +4 = 0
=> -2 + k +4 = 0
=> k = 2 - 4 = -2

Siden det ikke er gitt noen verdi for f(1) i oppgaven, så kunne den like godt vært lik 5:

f(1) = 5
=> f(1) = -2*1[sup]2[/sup] +k*1 +4 = 5
=> -2 + k +4 = 5
=> k = 5 + 2 - 4 = 3

Alternativ betraktning:
Formelt sett er dette en funksjon i to variable, x og k:
f(x, k) = -2x[sup]2[/sup] + kx +4

Nå er vi interessert i spesialtilfellet x = 1, som gir oss:
f(1, k) = -2*1[sup]2[/sup] + k*1 + 4 = -2 + k + 4 = k + 2
Dette er nå en funksjon i kun én variabel k, vi kan kalle den g(k):
g(k) = k + 2
Det er en rett linje, og den er definert for alle reelle tall k.
Verdimengden, g(k) er også alle reelle tall.

Det nærmeste vi kommer i å bestemme k er: k = g(k) - 2,
eller om du vil bruke f(x): k = f(1) - 2, som er gyldig for alle
tall k siden f(1) er en ukjent.

Håper du nå ser at oppgaven ikke gir mening slik du har gjengitt den.

Kommentar til matematikken i ditt siste innlegg:
Du kan ikke bytte ut f(-1) med -1 slik du gjør fra linje 2 til linje 3.
Det første er en funksjonsverdi som du skal beregne ved å sette inn en verdi for variabelen i funksjonen. Det andre en tallverdi. Det er ikke generelt slik at f(-1) = -1.
Det holder f.eks for f(x) = x, men ikke for denne funksjonen.


Oppgave b) er også feil, eller kanskje en lureoppgave. Den gitte funksjonen har ikke bunnpunkt for noen verdi av k, siden den krummer opp for alle verdier av k, dvs den har topp-punkt, men aldri bunnpunkt.