matematikk.net

Alle sirkler på bildet tangerer hverandre. Dersom alle de små sirklene har radius 1, hva er avstanden mellom sentrum i de to lilla sirklene?

er absolutt ikke sikker, men er avstanden

[tex]2\sqrt 2[/tex]

trur avstanden blir

[tex]\frac{2\sin(80^o)}{\sin(50^o)}=4\sin(\frac{2\pi}{9})[/tex]

Jeg har 2,5464591 på avstanden, men er ikke dreven med å kunne skrive en formel til den. Kanskje oppsette viser samme svaret i et forrige innlegg her, noe som jeg heller ikke er dreven med å antyde.

Jeg satt en stund og fikk[tex] \sin(80) \over \sin(50)[/tex] som svar, men på grunn av de andre svarene her skjønte jeg at de to beina i den likesidede trekanten må være av lengde 2, ikke 1. Dermed får jeg 2.57 i svar jeg også...

Jeg har oppdaget feilen, og har etter nye beregninger fått 2,5886334. Men hva sier den eksakte fasiten?

Siden alle bare har skrevet svarene sine tar jeg med et bevis

Vinklene i en regulær n-kant er [tex]\frac{n-2}{n}180[/tex]

Dette gir at vinklene i 9 kanten er 140 grader. Trekanten som dannes av sentrene i den sentrale lilla sirkelen og de sirklene overfor den tanger er likesidet. Det vil si at den øvre vinkelen i trekanten dannet av sentrene i de to lilla og den svarte ovenfor er 140 - 60 = 80.

Siden denne trekanten er likesidet, blir de to andre vinklene 50 grader. Og ved sinussetningen følger det at distansen mellom sentrene i de to lilla sirklene

[tex]2\frac{\sin{80}}{\sin{50}}=2\frac{2\sin{40}\cos{40}}{\cos{40}}[/tex]

[tex]=4\sin{40}[/tex]

Plutarco, var du ute etter et svar i røtter og rasjonaler, eller holder dette uttrykket?

Brahmagupta wrote:
Plutarco, var du ute etter et svar i røtter og rasjonaler, eller holder dette uttrykket?

Ser bra ut dette!