Potensrekke for ln(2-x)
Posted: 13/02-2013 14:24
Hei!
Oppgavetekst:
Bruk potensrekkerepresentasjonen [tex]\frac 1{1-x}=1+x+x^2+x^3+...[/tex] (-1<x<1) og finn potensrekkerepresentasjon for funksjonene i oppg. 12-20.
15.
ln(2-x)
Mitt forsøk:
[tex]\frac 1{2-t}=\frac 12 \Sigma_0^{\infty} (-1)^n (\frac {t}2)^n \Rightarrow ln(2-x)=\int_0^{x} \frac {dt}{2-t}= \Sigma_0^{\infty}(-\frac 12)^n \int_0^{x} (\frac {t}2 )^n \ dt = \Sigma_0^{\infty}(-\frac 12)^n \cdot 2 \frac {(\frac {x}2 ) ^{n+1}}{n+1}=\Sigma_0^{\infty} \frac {(-1)^n}{n+1}\cdot {x^{n+1}}{2^n}=ln 2\cdot \Sigma_0^{\infty} \frac {x^{n+1}}{2^n}[/tex]
Fasit:
[tex]ln 2 - \Sigma_1^{\infty} \frac {x^n}{2^n \cdot n}[/tex]
Disse svarene er vel ikke identiske? Hva har jeg gjort feil/ skulle jeg ha gjort?
(Eller er det pga de har begynt fra n=1, eg fra n=0?)
Oppgavetekst:
Bruk potensrekkerepresentasjonen [tex]\frac 1{1-x}=1+x+x^2+x^3+...[/tex] (-1<x<1) og finn potensrekkerepresentasjon for funksjonene i oppg. 12-20.
15.
ln(2-x)
Mitt forsøk:
[tex]\frac 1{2-t}=\frac 12 \Sigma_0^{\infty} (-1)^n (\frac {t}2)^n \Rightarrow ln(2-x)=\int_0^{x} \frac {dt}{2-t}= \Sigma_0^{\infty}(-\frac 12)^n \int_0^{x} (\frac {t}2 )^n \ dt = \Sigma_0^{\infty}(-\frac 12)^n \cdot 2 \frac {(\frac {x}2 ) ^{n+1}}{n+1}=\Sigma_0^{\infty} \frac {(-1)^n}{n+1}\cdot {x^{n+1}}{2^n}=ln 2\cdot \Sigma_0^{\infty} \frac {x^{n+1}}{2^n}[/tex]
Fasit:
[tex]ln 2 - \Sigma_1^{\infty} \frac {x^n}{2^n \cdot n}[/tex]
Disse svarene er vel ikke identiske? Hva har jeg gjort feil/ skulle jeg ha gjort?
(Eller er det pga de har begynt fra n=1, eg fra n=0?)