matematikk.net

Jeg trenger seriøst hjelp med lineær transformasjon.

Vet ikke hvor jeg skal begynne engang på denne oppgaven:

Gitt en lineær transformasjon T: R^3 pil R^3, hvor en vektor p (med pil over) skal roteres 45 grader om z-aksen, skaleres med faktoren 22 [symbol:rot] og speiles om zx-planet, alt i nevnt rekkefølge. Ender opp med vektor s (med pil over).

Finn en transformasjonsmatrise M ,slik at s (pil over) = T(p) = Mp (pil over p`ene).

Regn ut inversmatrisen M^-1 slik at p = M(^-1)s (pil over p og s).

HJELP:)

Oppgitt rotasjonsmatrise:

A= cos ø - sin ø 0
sin ø cos ø 0
0 0 1

Her er det et viktig teorem du får bruk for. Er du kjent med at hvis du har to lineærtransformasjoner [tex]T_1[/tex] og [tex]T_2[/tex] med tilhørende transformasjonsmatriser [tex]M_1[/tex] og [tex]M_2[/tex] så vil [tex]T_1(T_2(\vec{p})) = M_1 M_2 \vec{p}[/tex]?

Her har du tre lineærtransformasjoner som skal gjøres etter hverandre, ikke sant? Du skal først sende vektoren [tex]\vec{p}[/tex] inn i en lineærtransformasjon som roterer den 45 grader, så skal du ta den resulterende vektoren inn i en ny transformasjon som skalerer vektoren, og til slutt skal resultatet av det igjen sendes inn i en transformasjon som speiler om zx-planet. Det er altså tre lineærtransformasjon som skal settes sammen. Hvis du kan finne matrisene for hver av dem (rotasjonen har du vel) så kan du da bruke det jeg sa ovenfor til å sette dem sammen.

Er det rett at jeg skal gange rotasjonsmatrisen:

cos [symbol:pi] /4 -sin [symbol:pi] /4 0
sin [symbol:pi] /4 cos [symbol:pi] /4 0
0 0 1

med 2 [symbol:rot] 2 slik at jeg får:

2 -2 0
2 2 0
0 0 1

?

Når du skalerer må du hugse på å også multiplisere 1-tallet med [tex]2\sqrt{2}[/tex], dvs. du får:

[tex]\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2}\end{pmatrix}[/tex].

Deretter må du også utføre den siste lineære transformasjonen (speiling om xz-planet).

Vi må altså finne matrisa for denne speilinga. Ser du kvifor matrisa blir slik som dette?

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/tex].

Kva blir så den totale matrisa for heile transformasjonen [tex]T[/tex]?