matematikk.net

Mulig flere har løst denne før siden oppgaven er gitt i Kalkulus av Tom Lindstrøm. Det er i alle tilfeller en god oppgave.

z, u og w er komplekse tall. Vis at trekanten med hjørner i z, u og w er likesidet hvis og bare hvis [tex]z^2+u^2+w^2=zu+zw+uw[/tex]

La z,u,w være hjørnene i en likesidet trekant i det komplekse plan.

Sett a=z-w, b=w-u, c=u-z.

Da vil a,b,c ligge på en sirkel med senter i origo og radius r slik at

[tex]a=re^{i\theta}[/tex]
[tex]b=re^{i(\theta+\frac{2\pi}{3})}=ae^{\frac{2\pi}{3}i}[/tex]
[tex]c=re^{i(\theta-\frac{2\pi}{3})}=ae^{\frac{-2\pi}{3}i}[/tex].

Vi ser nå at [tex]bc=a^2[/tex].

Setter vi inn for a,b og c fås

[tex](w-u)(u-z)=(z-w)^2[/tex] som er ekvivalent med hva vi vil vise.

Motsatt vei: La a,b,c være som over. Fra den oppgitte ligningen er

[tex]ab=c^2[/tex]
[tex]ac=b^2[/tex]
[tex]bc=a^2[/tex].

Anta at |a|<|c|. Da er |b|>|c|, men da er |ac|<|b|^2. Anta at |a|>|c|. Da er |b|<|c|, og |ac|>|b|^2. Altså må |a|=|b|=|c|. Siden z,u,w er forskjellige punkter slik at avstandene mellom hvert par av punkter er like, må z,u,w danne en likesidet trekant.

Ser bra ut!
Jeg løste den ved å vise at tredjegradsligningen med a,b og c (slik du definerte dem) som løsninger er på formen [tex]z^3=r[/tex], hvilket medfører at de har samme absoluttverdi.