matematikk.net

Faktoriser [tex]x^{10}+x^{5}+1[/tex] uten å jukse.

Over [tex]\mathbb{C}[/tex] eller [tex]\mathbb{R}[/tex]?

Over [tex]\mathbb{Z}[/tex]

[tex]x^{10}+x^5+1 = \frac{x^{15}-1}{x^5-1}[/tex]. Vi har at teller og nevner kan faktoriseres på følgende måter:

[tex]x^{15}-1=(x^3-1)(x^{12}+x^{9}+x^6+x^3+1)[/tex]

[tex]x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)[/tex]

Polynomdivisjon gir at

[tex](x^3-1) : (x-1) = x^2+x+1[/tex] og

[tex](x^{12}+x^{9}+x^6+x^3+1) : (x^4+x^3+x^2+x+1) = x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1[/tex], derfor er

[tex]x^{10}+x^5+1 = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)[/tex]

Det er opplagt at den første faktoren er irredusibel over Z. Det som gjenstår er å vise at den andre faktoren er irredusibel over Z. Direkte bruk av Eisensteins kriterium går iallfall ikke.. Hm..

Helt riktig. Du kan også benytte syklotomiske polynom.

For odde primtall p, har vi dette:

[tex]\phi_{p}(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^{p-1}[/tex]

Lemma: [tex]x^{n} - 1 = \prod_{d|n} \phi_{d}(x)[/tex]

[tex]\frac{x^{15}-1}{x^{5}-1} = \frac{\phi_1 \cdot \phi_3 \cdot \phi_5 \cdot \phi_{15}}{\phi_1 \cdot \phi_5} = \phi_3 \cdot \phi_{15}[/tex]

Syklotomiske polynom er irredusible av definisjon. [tex]\phi_{15}[/tex] kan man finne ved å dele [tex]\phi_3[/tex] på uttrykket.

Hoksalon wrote: Syklotomiske polynom er irredusible av definisjon.

Og her er et bevis

http://planetmath.org/ProofThatTheCyclo ... cible.html