Tallteori
Posted: 18/12-2012 03:54
La n være et positivt heltall. Vis at dersom både 3n+1 og 10n+1 er kvadrattall, så er 29n+11 ikke et primtall.
Idéen er å finne (rasjonale) tall [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] slik at
[tex] 29n + 11 \;=\; x(3n + 1) \; + \; y(10n + 1) [/tex]
for deretter prøve å faktorisere.
La:
[tex]3n+1 = a^2[/tex]
[tex]10n+1 = b^2[/tex]
Man finner følgende:
[tex] 29n + 11 \;=\; \frac{ 81 }{ 7 } \cdot (3n + 1) \; - \; \frac{ 4 }{ 7 } \cdot (10n + 1) \;=\; \frac{ 81 }{ 7 } \cdot a^2 \; - \; \frac{ 4 }{ 7 } \cdot b^2 [/tex]
[tex] 29n + 11 \;=\; \frac{ (9a - 2b)(9a + 2b) }{ 7 } [/tex]
Dette er et sammensatt tall hvis [tex] 9a-2b [/tex] er ulik 1 eller 7. Hvis det er lik 1 eller 7, så har man denne sammenhengen:
[tex] 2,9 b^2 \;<\; 29n + 11 \; \le \; \frac{ 7 \cdot (7+4b) }{ 7 } \;=\; 7 + 4b [/tex]
I dette tilfettet må altså [tex]b \,<\, 3[/tex]. På den annen side er [tex]b \, \ge \, \sqrt{11} \, > \, 3[/tex] slik at dette faktisk aldri kan hende.
Konklusjon: [tex]29n + 11[/tex] er aldri et primtall.