matematikk.net

Jeg finner ikke fasit på denne eksamensoppgaven fra UiO:
Hvordan kan jeg gå frem her?

Finn alle funksjoner y = f (x) med følgende egenskap: La P være et vilkårlig punkt på grafen til f og Tp tangentlinjen til f i punktet P . Da deles det rette linjestykket mellom Tp’s skjæringspunkter med koordinataksene på midten av punktet P.

For en vilkårlig rett linje gitt ved [tex]y=ax+b[/tex] med [tex]a\neq 0[/tex] kan vi finne et generelt uttrykk for punktet som ligger midt mellom skjæringspunktene med koordinataksene.

Dette midtpunktet er gitt ved koordinatet [tex](x,y) = (-\frac{b}{2a},\frac{b}{2})[/tex] (dersom jeg har regnet riktig)

Vi forutsetter nå at f(x) er deriverbar, altså at det fins en entydig tangent i alle punkter på grafen.

Da må [tex](x,f(x)) = (-\frac{b}{2a},\frac{b}{2}) [/tex] samtidig som at [tex]f^,(x)=a[/tex].

Altså må [tex]x=-\frac{b}{2a}=-\frac{f(x)}{f^,(x)}[/tex] for alle x i domenet.

Altså må [tex]xf^,(x)=-f(x)[/tex] som er en separabel diff.ligning.

Vi får nå at [tex]\int \frac{df}{-f} =\int \frac{dx}{x}[/tex], så [tex]-\ln(f) =\ln(x)+C[/tex]. Altså er alle funksjoner som tilfredsstiller kravet hyperbler på formen [tex]f(x)=Ax^{-1}[/tex]