matematikk.net

Finn alle [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] slik at

[tex]f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1[/tex]

for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]

Er det ingen som får til denne?

Hint: Start med å finn et uttrykk for f(x) når x er begrenset til å ligge i verdimengden til f, i.e. finn f(x) når x=f(y) for en eller annen y.

[tex]f(x-f(y)) = f(f(y) + xf(y) + f(x) - 1[/tex]
f(0) = a, f(y) = x


[tex]f(0) = f(x) + x^2 + f(x) - 1[/tex]
[tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex]

Vi får ligningen:
[tex]f(0) = \frac{a+1}{2} = a[/tex]
der a = 1

Og det følger at ligningen er
[tex]f(x) = 1 - \frac{x^2}{2}[/tex]

(også prøve på svaret da...)

Her har du vel bare funnet et funksjonsuttrykk for alle [tex]x \in Im(f)[/tex] ? Eller utarbeidet du bare hintet kanskje?:)

Jeg utarbeidet bare hintet. Jeg forstår ikke notasjonen din

Im(f) betyr bildet (image) av funksjonen f, kanskje mer kjent som verdimengden.

Hoksalon wrote: Vi får ligningen:
[tex]f(0) = \frac{a+1}{2} = a[/tex]
der a = 1

Det uttrykket du har funnet for f(x) gjelder kun for [tex]x\in Im(f).[/tex]
Siden vi ikke vet om [tex]0\in Im(f)[/tex] blir det ikke riktig å konkludere med det du gjør her.

EDIT: jeg tolket Im(f) som definisjonsmengden til f...

plutarco wrote:Er det ingen som får til denne?

Midt i eksamenstiden!

Er det ikke implisert i oppgaveteksten at 0 er med i definisjonsmengden til f?

plutarco wrote:f(x) [...] for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]

Skal dette da tolkes som [tex]\forall x,y\in D_f \subseteq \mathbb{R}[/tex]?

Hvis sistnevnte, observerer vi av likningen at:
1. [tex]y\in D_f \Longrightarrow f(y)\in D_f[/tex]. Også at
2. [tex]\forall x,y\in D_f\; \Longrightarrow x-f(y)\in D_f[/tex].

Fra 1. har vi lov å sette [tex]x = f(y)\;\forall y \in D_f[/tex]. Fra 2. får vi da at [tex]f(y)-f(y) = 0 \in D_f[/tex]. Hurra!

Ser også at [tex]V_f = \{f(y) : y\in D_f\} \subseteq D_f[/tex].

Vi gjør som Hoksalon over: La [tex]x = f(y)[/tex]:

[tex]f(0) = f(x) + xf(x) +f(x) - 1 \;\forall x \in V_f \subseteq D_f[/tex].

Men siden den eneste verdien i definisjonsmengden vi vet om er 0, så prøver vi med x=0. Men har vi lov til dette, siden det da er snakk om å si at [tex]\exists y\in D_f[/tex] slik at [tex]f(y) = 0[/tex]? Her er jeg foreløpig stuck.

Emomilol wrote:EDIT: jeg tolket Im(f) som definisjonsmengden til f...

plutarco wrote:Er det ingen som får til denne?

Midt i eksamenstiden! :P

Er det ikke implisert i oppgaveteksten at 0 er med i definisjonsmengden til f?

plutarco wrote:f(x) [...] for alle x,y i [tex]\mathbb{R}[/tex]

Skal dette da tolkes som [tex]\forall x,y\in D_f \subseteq \mathbb{R}[/tex]?

0 er med i definisjonsmengden, ja. Problemet var at det spesifikke uttrykket for f(x) som Hoksalon hadde kommet fram kun gjaldt på restriksjonen [tex]Im(f) \subseteq Def(f)[/tex]. Derfor kan man ikke bare sette x=0 i uttrykket når man skal finne a.

For å beregne a:

[tex]f(x-f(y)) = f(f(y) + xf(y) + f(x) - 1[/tex]

Setter x = 0.

[tex]f(-f(y)) = f(f(y) + f(0) - 1[/tex]

Men [tex]f(f(y))[/tex] og[tex]f(-f(y))[/tex] kan evalueres siden [tex]f(y) \in Im(f)[/tex] og vi har at [tex]f(x) = \frac{-x^2+a+1}{2}[/tex] for alle [tex] x \in Im(f)[/tex]. Vi ser at [tex]f(f(y)) = f(-f(y))[/tex] og dermed at [tex]f(0) = 1[/tex]

Problemet er at selv om f(y) er med i Im(f), så er ikke nødvendigvis -f(y) det. Tenk f.eks. på funksjonen f(x)=1 for alle x. [tex]-f(x)=-1\not\in Im(f)=\{1\}[/tex]

Her er det mange feilantagelser ute og går ja!:)

Er det et fag/bok som tar for seg notasjonen som blir brukt her om funksjonalligninger? Alt er ganske nytt for meg. Selv om jeg har en liten forståelse av hva tegnene betyr, har jeg aldri benyttet de så hyppig som dere gjør her.

Hoksalon wrote:Er det et fag/bok som tar for seg notasjonen som blir brukt her om funksjonalligninger? Alt er ganske nytt for meg. Selv om jeg har en liten forståelse av hva tegnene betyr, har jeg aldri benyttet de så hyppig som dere gjør her.

Det er vel i grunnen bare standard notasjon fra basic mengdelære. Det var ikke meningen å forvirre med unødvendig notasjon.

[tex]f:U\to V[/tex] betyr bare at funksjonen f har domene U og kodomene V

Im(f) er verdimengden til f

Def(f) er definisjonsmengden til f = domenet til f