matematikk.net

En liten tanke som jeg plutselig fikk her, som jeg håper jeg klarer å formulere som et spørsmål;

Vil ethvert rasjonelt tall kunne bli beskrevet som et endelig desimaltall i ett n-tallsystem?

Altså at et rasjonelt tall må kunne bli skrevet i minst et n-tallsystem.

Selv har jeg troen på at det må være sånn, men en bekreftelse evt. et bevis hadde være fantastisk

Dersom du har eit rasjonalt tal [tex]q=\frac{m}{n}[/tex] der [tex]m\in{\mathbb{Z}}, n\in{\mathbb{N}}[/tex], kan du vel sjå på det i n-talssystemet?

Bruk først divisjonsalgoritmen til å skrive:

[tex]m=kn+r, \text{ } 0\leq{r}<n[/tex]

Då får vi at:

[tex]q=k+\frac{r}{n}[/tex] der [tex]r\in{\{0,1,2,\ldots,n-1\}}[/tex]

så sistnevnte del ("desimaldelen") kan skrivast som 0.r i n-talssystemet, og første delen er eit heiltal så den skaper vel ingen problem.

Dvs. du trenger berre å sjå på n-talssystemet, der n er nemnaren i talet ditt.

Var det dette du lurte på?

Så flott ut, var det jeg lurte på. Mange takk!

La det rasjonale tallet være p/q.

La n være delelig med alle primfaktorene til q. En metode for å finne desimalutviklingen av tallet vil da være som følger:

[tex]\frac{p}{q}= c_1n^{-1}+c_2^{-2}+...+c_k^{-k}[/tex]

Problemet her er å avgjøre c verdiene, og om det finnes en slik k, altså at sifferutviklingen er endelig. Først ganger man med n.

[tex]\frac{np}{q}=c_1 + c_2^{-1}+...+c_k^{k-1}[/tex]

For å finne c1 er det bare å finne heltallsdelen av tallet på venstre side. Slik fortsetter man inntil q er forkortet helt bort. Den vil bli forkortet hver gang man ganger med n, på grunn av valget av n. Når q er lik 1 vil også sifferutviklingen ende.

Ved denne fremgangmåten vil man kunne avgjøre alle c'ene og pågrunn av valget av n vil den være endelig.

Dette er vel ikke et skikkelig bevis, men svarer på oppgaven mener jeg.
Så ved valg av n slik at alle primtallsfaktorer av q deler n vil sifferutviklingen være endelig.

Så jeg var litt sent ute, men det her blir vel litt mer generelt hvertfall.