matematikk.net

God morgen!

Jeg skal bestemme de partielle deriverte av 1. og 2. orden av funksjonen:

[tex]f(x,y)=2x^{3}+3y^{2}-xy^{2}+x^{2}y[/tex]

Jeg får:

[tex]f_{x}=6x^{2}-y^{2}+2xy[/tex]
[tex]f_{xx}=12x+2y[/tex]

[tex]f_{y}=6y-2xy+x^{2}[/tex]
[tex]f_{yy}=6-2x[/tex]

Det går forsåvidt greit, men så skal jeg finne [tex]f_{xy}[/tex] og [tex]f_{yx}[/tex] . Fasiten sier:

[tex]f_{xy}=-2y+2x[/tex]
[tex]f_{yx}=-2y+2x[/tex]

Det jeg lurte på er hvordan man fant disse?

Edit: Ser ut som man bare tar leddene med xy fra hver av de første deriverte og legger sammen den deriverte av hver av de?

Når du partiellderiverer ser du på en av variablene som konstant og den andre som variabel. [tex]f_{xy}[/tex] betyr at du først skal derivere med hensyn på x (og holde y konstant) og så med hensyn på y (og holde x konstant). Det betyr altså [tex]\frac{\partial}{\partial y} f_x[/tex].

Hvis vi ser på det første leddet så har vi [tex]6x^2[/tex]. Det avhenger ikke av y, så det blir 0 når vi deriverer med hensyn på y. I det andre leddet har vi [tex]-y^2[/tex]. Dette blir [tex]-2y[/tex]. Så har vi leddet 2xy. Her har vi konsanten 2x ganget med y. Regelen for derivasjon av en konstant ganger et uttrykk av variabelen sier at vi kan la konstanten stå utenfor og så deriverer vi uttrykket (det er akkurat det du gjør når du f.eks. deriverer [tex]2x^2[/tex]; du ganger jo da den deriverte av [tex]x^2[/tex] med 2). Vi får da [tex]2x \cdot \frac{\partial}{\partial y} y = 2x[/tex]. Totalt blir det altså [tex]f_{xy} = -2y + 2x[/tex].