matematikk.net

Det finnes mange ulike tilnærminger innen matematikken.
Anta vi ønsker å beregne integralet

[tex]I_1 \,=\, \int_0^1 \ln x\,\mathrm{d}x[/tex]

på en litt spesiell måte. Vi ønsker å finne et polynom som passer best mulig overens med [tex]\ln(x)[/tex] på intervalet [tex]x\in(0,1)[/tex]
For enkelhetensskyld la oss anta at polynomet vårt er på formen

[tex]P_2(x) \, = \, ax^2 \, + \, bx \, + \, c[/tex]

a) Bestem [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] slik at

[tex]E_2 \,=\, \int_0^1 \left| \ln (t) \,-\, P_2(t) \right|^2 \mathrm{d}t[/tex]

blir minst mulig.

Oppfølger, vis at

[tex]E_n \,=\, \int_0^1 \left| \ln (t) \, -\, P_n(t) \right|^2\mathrm{d}t \, = \, \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Altså at den minste kvadratiske feilen mellom [tex]\ln(t)[/tex] og [tex]P_n(t)[/tex] som er mulig å få er [tex]1/(n+1)^2[/tex] for [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Med andre ord bevise at man har funnet det best interpolasjonspolynomet til ln på (0, 1)?

Spent på å se fasiten på denne!

Beste interpolasjonspolynomet av grad [tex]n[/tex] ja ^^ Litt stilig oppgave.
Et hint kan være å snuse bortom Legrende polynomene.

Vil ikke koeffisientene foran [tex]x^k[/tex] i polynomet [tex]p(x)[/tex] av grad n være Fourier-koeffisientene? Dvs.,
[tex]\langle \ln(x),x^k \rangle = \int_0^1 \ln(x)\cdot x^k\, dx[/tex]

med [tex]p(x) = \sum_{k=0}^{n} \langle \ln(x),x^k \rangle \cdot x^k[/tex]. Jfr. forelesningsnotater.

Vi bruker (shifted) Legendrepolynomer [tex]P_n(t)[/tex] definert på (0,1) som tilfredsstiller

[tex]\int_0^1 P_nP_m\,dt = \frac{1}{2n+1}\delta_{mn}[/tex]

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_p ... olynomials

Dermed blir polynomet

[tex]\sum_{i=0}^n\frac{\langle \ln (t), P_i\rangle P_i}{\langle P_i,P_i\rangle}= \sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln (t), P_i\rangle P_i[/tex].

Det gjenstår å vise at [tex]\int_0^1 (\ln(t)-\sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln (t), P_i\rangle P_i)^2\,dt=\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Sikkert lurt å bruke egenskapene til indreproduktet for å forenkle integralet.

Emomilol wrote:Vil ikke koeffisientene foran [tex]x^k[/tex] i polynomet [tex]p(x)[/tex] av grad n være Fourier-koeffisientene? Dvs.,
[tex]\langle \ln(x),x^k \rangle = \int_0^1 \ln(x)\cdot x^k\, dx[/tex]

med [tex]p(x) = \sum_{k=0}^{n} \langle \ln(x),x^k \rangle \cdot x^k[/tex]. Jfr. forelesningsnotater.

[tex]x_k[/tex] er ikke ortonormale polynomer med dette indreproduktet, så jeg tror ikke den fremgangsmåten er helt riktig.

[tex]E_n = \int_0^1 (\ln(t)-\sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln (t), P_i\rangle P_i)^2\,dt = \langle \ln(t)-\sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln (t), P_i\rangle P_i, \ln(t)-\sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln (t), P_i\rangle P_i \rangle = \\ 2-\sum_{i=0}^n(2i+1)\langle \ln(t),P_i \rangle^2 = 2-(\int_0^1\ln(t)\,dt)^2 - \sum_{i=1}^n (2i+1)(\int_0^1 \ln(t)P_i(t)\,dt)^2[/tex].

Problemet blir nå at beregne [tex]\int_0^1 \ln(t)P_i(t)\,dt[/tex] for i>0.

Bruker Rodrigues' formel:

[tex]P_i(t) = \frac{1}{i!}\frac{d^i}{dt^i}(t^2-t)^i[/tex]. Vi har også at den i-te deriverte at den naturlige logaritmen er

[tex]\ln(t)^{(i)} = (-1)^{i+1}(i-1)!t^{-i}[/tex] for [tex]i>0[/tex]

Delvis integrasjon gir at

[tex]\int_0^1 \ln(t) P_i(t)\,dt =[\ln(t)\int_0^t P_i(s)\,ds]_0^1 - \int_0^1 t^{-1}(\int_0^t P_i(s)\,ds) dt [/tex].

Fra Rodrigues' formel er [tex]\int_0^t P_i(s)\,ds = \frac{1}{i!} \frac{d^{i-1}}{dt^{i-1}}(t^2-t)^i}[/tex]. Så leddet [tex][\ln(t)\int_0^t P_i(s)\,ds]_0^1[/tex] blir 0 siden [tex]\lim_{x\to 0}[\ln(t)\int_0^t P_i(s)\,ds]_x^1=0[/tex].

Ved å bruke delvis integrasjon i antall ganger kommer man til slutt fram til at

[tex]\int_0^1 \ln(t) P_i(t)\,dt = \frac{(-1)^{i+1}}{i(i+1)}[/tex]

Da blir

[tex]E_n = 1-\sum_{i=1}^n \frac{(2i+1)}{i^2(i+1)^2} = 1-\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. qed.

plutarco wrote: [tex]x_k[/tex] er ikke ortonormale polynomer med dette indreproduktet, så jeg tror ikke den fremgangsmåten er helt riktig.

Det burde jeg ha sjekket/visst!