matematikk.net

Er det noen som kan forklare hvordan man skal løse denne oppgaven uten kalkulator bare med penn og papir?

Hvor mange nuller er det på slutten av 1^1*2^2*3^3....*99^99

A 450 B 500 C 600 D 950 E 1100

Hva vet du om tall som har nuller i de siste sifrene? Hvis vi f.eks. ser på alle tall som har én null bakerst (10, 30, 110, 190, for å nevne noen tilfeldige), hva er det alle de har helles? Hva med tallene som har to nuller bakerst, hva har de felles? (Hint: Dette har noe med potenser av 10 å gjøre.)

Hvis jeg forstår Vektormannen rett, så vil hvor mange nuller det blir bakerst bestemmes av antall ganger man ganger med 10 i det endelige tallet. Tallene som er delelige med 10 blir:

10^10 * 20^20 ... 90^90
10^10 * (2^20 * 10^20) ... (9^90 * 10^90)
Antall nuller blir da:

10 + 20 +...+90

Som gir rekken 10[symbol:sum] n = 10* (1/2(n)(n+1)):

[tex]\frac{10}{2}*9*10 = 450[/tex]

Tror det skal bli rett

Du er absolutt inne på noe, men du har nok ikke fått med alle 10-faktorene! Fra [tex]2^2[/tex] og [tex]5^5[/tex] så kan vi jo f.eks. lage oss to 10-faktorer til, ikke sant? Og ikke nok med det, de tre 5-faktorene vi da har igjen kan vi gange med hver sine 2-faktorer som er lenger ute i produktet (f.eks. i [tex]4^4[/tex]). Slik kan vi også fortsette utover, så det blir flere enn 450 i alle fall. Kan du tenke deg hvordan du kan finne ut hvor mange, når du tar hensyn til dette også?

Ja, selvfølgelig. Så trikset er å finne x antall 2-faktorer og y antall 5-faktorer, dermed vil min(x,y) bli antall 10-faktorer. Det vil bli færre 5-faktorer enn 2-faktorer, så vi kan nøye oss med å finne 5-faktorene:

[tex]\lfloor\frac{99}{5}\rfloor = 19[/tex]

5^5 * (2^10*5^10) ... (19^95 *5^95)

5+10+15+...+95

[tex]5\sum_{n=1}^{19}n = 950[/tex]

Nå må det da bli rett

Getting there

Men husk at det er nøyaktig tre tall mellom 1 og 99 som har to 5-faktorer!

Ja, det er sant. 25, 50 og 75. Så da må vi legge til:
25 + 50 + 75 = 150

950 + 150 = 1100

Nå er vi enige. Bra!

Kan dette generaliseres? Hvor mange nuller blir det på slutten av rekken:
1^1 * 2^2 *...* n^n

Ja, men et helt eksplisitt uttrykk blir vel muligens vanskelig? (Siden n selv kan være delelig på 5 eller ikke og desto større n blir, desto flere tall kan man få med flere enn én 5-faktor. Multipler av 125 har jo tre stk, og så videre).

Du kan jo se hva du kommer frem til.

Kan det bli noe sånt som:

[tex]\sum_{k=1}^{\lfloor\log_{5}{n}\rfloor}5^{k}\sum_{m=1}^{\lfloor\frac{n}{5^{k}}\rfloor}m[/tex]

Hvor rekken er:
1^1 * 2^2 *...* n^n

Ja, det ser riktig ut.

Jeg prøver å gjøre det samme opp til [tex]50^{50}[/tex] for å se om jeg har forstått det, men tror det er noe jeg mangler.

Først henter jeg alle rene 10ere fra [tex]50^{50}, \ 40^{40}[/tex] osv, ned til 10, så der har vi 150 stk.

Så tenker jeg at vi kan kombinere 2ere og 5ere. Antar det finnes flere 2ere i produktet enn 5ere, så jeg prøver å se hvor mange 5ere vi har.

[tex]5^5[/tex] gir 5 stk
[tex]15 ^{15}[/tex] gir 15 stk
[tex]25^{25}[/tex] gir 50 stk
[tex]35^{35}[/tex] gir 35 stk
[tex]45^{45}[/tex] gir 45 stk

Der har vi enda 150. Så da har vi til sammen 300. Men det er vel ikke riktig?

Primtallsfaktoriser 50, så ser du hva som mangler.

En liten feil der, Aleks. Husk at 50 gir deg to tiere (2 femmere), slik at du får 200 fra "10'ere".

Ellers fint