matematikk.net

Vis at

[tex]\underbrace{\ 111 \ldots \ }_{2m \, \text{ganger } } \,\!\! - \ \underbrace{\ 222 \ldots \ }_{ m \text{ ganger } }[/tex]

Alltid gir et perfekt kvadrat der [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].

Vi vet at et tall er et kvadrattall hvis og bare hvis det er lik 0 eller 1 modulo 4. Omskrivning av summen som er oppgitt, der vi har likhet modulo 4, gir for alle m > 1:

[tex]\underbrace{\ 111 \ldots \ }_{2m \, \text{ganger } } \,\!\! - \ \underbrace{\ 222 \ldots \ }_{ m \text{ ganger } } = 11-2(11) = 10 + 1 - 2(10 + 1) = 2+1 - 2(2+1) = 1[/tex], så det oppgitte tallet er et kvadrat. Tilsvarende for m = 1, så er tallet lik 9.

Kaller tallet for N. Vi har [tex]N = 10^{2m-1} + 10^{2m-2} + ... + 10 + 1 - 2(10^{m-1} + 10^{m-2} + ... + 10 + 1) = 10^{2m-1} + ... + 10^{m} - 10^{m-1} - ... - 10 - 1[/tex].

Faktoriserer parvis og får

[tex]N = 10^{m-1}(10^m - 1) + 10^{m-2}(10^m - 1) + ... + 10(10^m - 1) + (10^m - 1) = (10^m - 1)(10^{m-1} + ... + 1)[/tex].

I faktoren til venstre har vi en geometrisk rekke, så

[tex]N = (10^m - 1) \cdot \frac{10^m - 1}{9} = \frac{(10^m - 1)^2}{9}[/tex]. 9 er en opplagt faktor i telleren, og er selv et kvadrat, så N blir da et perfekt kvadrat.

Edit: litt mer traktorkjøring her ja

Emomilol wrote:Vi vet at et tall er et kvadrattall hvis og bare hvis det er lik 0 eller 1 modulo 4.

Kanskje jeg misforstår deg, men implikasjonen går vel ikke begge veier. 13 er jo ikke et kvadrattall, men 13 = 4*3 + 1.

Du har selvfølgelig helt rett!

EDIT: Jeg er vanæret!