matematikk.net

Har vært et par slike oppe på forumet før men kan gjerna ta ein te.

Hva er størst av

[tex]7^{\sqrt{8}}[/tex] og [tex]8^{\sqrt{7}}[/tex] ?

Ble litt overrasket selv, og her vil ikke logaritmer være så mye til hjelp

Jeg vil, jeg vil, men får d'ikke til =(

er spørsmålet hva som er størst av [tex]x\sqrt{y}, y\sqrt{x}[/tex] ?


Edit: Ok, det var altså snakk om 7^(sqrt(8))

Edit: Kortslutning

Noen tips? Har prøvd å splitte hver av dem i flere uttrykk, men har ikke nådd fram så langt :/

Vi har at

[tex] 8 \cdot 29^ 2 \, > \, 7 \cdot 31^2 [/tex]

Ved å innføre [tex]x = 30[/tex], får vi

[tex]8(x-1)^2 \, > \, 7 (x+1)^2 \, \Rightarrow \, 8(x-1)^2-7(x+1)^2 \, = \, x^2 - 30x + 1 \, > \, 0[/tex]

Ved å ta roten av ulikheten ovenfor og litt omstokking får vi at

[tex] \sqrt{8} \, >\, \frac{31}{29}\sqrt{7} [/tex]

Så om vi ønsker for eksempel å vise at

[tex]7^{\sqrt{8}} \, > \, 8^{\sqrt{7}}[/tex]

holder det å vise at

[tex] 7^{31/29 \sqrt{7}} \, > \, 8^{\sqrt{7}}[/tex]

Opphøyer vi og flytter rundt, er dette det samme som å vise at

[tex] \frac{7^{30} }{8^{28}} \, > \, \frac{8}{7} [/tex]

Som jeg kan overlate til leser

Alternativt så opphøyer vi det originale stykke til [tex]\sqrt{2}[/tex] og får

[tex]8^{\sqrt{7}} \, > \, 7^{\sqrt{8}}[/tex]

[tex]8^{\sqrt{14}} \, > \, 7^4[/tex]

Fra taylor og rekkeutviklinger har vi at

[tex]\sqrt{14} \, < \, 116/31[/tex]

[tex]8^{116/31} \, > \, 7^4[/tex]

[tex]8^{29} \, > \, 7^{31}[/tex]

Så lar jeg det stå slik.

Jeg kom frem til dette alternativet i går, som jeg tror skal holde:

[tex]7^{\frac{\sqrt 8}{\sqrt 7}} = 7 \cdot 7^{\frac{\sqrt 8 - \sqrt 7}{\sqrt 7}} = 7 \cdot 7^{\frac{1}{\sqrt 7 (\sqrt 7 + \sqrt 8)}} > 7 \cdot 7^{\frac{1}{\sqrt 7 (\sqrt 7 + \sqrt 7)}} = 7 \cdot 7^{\frac{1}{14}}[/tex]

Siden [tex](7 \cdot 7^{\frac{1}{14}})^{14} = 7^{15} > 8^{14}[/tex]* får vi da at [tex]7^{\frac{\sqrt 8}{\sqrt 7}} > 7 \cdot 7^{\frac{1}{14}} > 8 \ \Rightarrow \ 7^{\sqrt 8} > 8^{\sqrt 7}[/tex].

(* Som jeg på tilsvarende vis overlater til leser )