matematikk.net

Sliter litt med å forstå hvordan man finner partikulærløsning for differenslikninger. Har et eksempel:

Den inhomogene likningen ser slik ut: Xt+2+4Xt+1+4Xt
t= 0,1,...

Lineært uavhengige løsninger av den homogene likningen:
U(1)t= -2^t
U(2)t=t*(-2)^t

Generell løsning: x(t)= A(-2^t)+B*t*(-2^t)

Det går greit så langt. Men skjønner ikke hvordan man finner den partikulæreløsningen. Er det noen generell måte dette kan gjøres på?

Vanligvis gjetter man på en partikulærløsning som ligner på høyresida. Dersom høyresida er på samme form som en av løsningene til den homogene ligninga, ganger man med variabelen.

Eksempel 1:

[tex]x_{n+2}-4x_n=2^n[/tex]

Karakteristisk ligning er [tex]\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2)=0[/tex], så homogen løsning er [tex]A2^n+B(-2)^n[/tex]. (A og B konstanter)

Siden høyresida er på samme form som den ene homogene løsningen, gjetter vi på partikulærløsning på formen [tex]Cn2^n[/tex]. C bestemmes ved innsetting av løsningen i ligningen.

Eksempel 2:

[tex]x_{n+2}-4x_n=3^n[/tex]

Her er den homogene løsningen identisk med eksempel 1. Siden høyresida ikke er på samme form som noen av de homogene løsningene, gjetter vi på at partikulærløsningen er på formen [tex]C3^n[/tex]. C bestemmes ved innsetting av løsningen i ligningen.

Eksempel 3:

[tex]x_{n+2}-4x_n=4[/tex]

Homogen løsning er uforandret. Vi gjetter på partikulærløsning på formen A for en konstant A. Innsatt i ligningen får vi naturligvis at A-4A=-3A=4, så [tex]A=-\frac34[/tex]

Eksempel 4:

[tex]x_{n+2}-4x_n=4+3^n[/tex]

Vi gjetter at partikulærløsningen er kombinasjonen av løsningene i de to foregående eksemplene: [tex]A+B3^n[/tex].

Eksempel 5:

[tex]x_{n+2}-4x_n=n[/tex]

Gjett først på partikulærløsningen på formen An. Innsatt i ligningen fås [tex]A(n+2)-4An=(A-4A)n+2A=-3An+2A=n[/tex]. Her ser vi at vi ikke klarer å bestemme konstanten A, så gjetningen er feil. Men dersom vi modifiserer partikulærløsningen til An+B, får vi ved innsetting i ligningen:

[tex]A(n+2)+B-4(An+B)=(A-4A)n+(2A+B-4B)=n[/tex]. Da stemmer dette dersom [tex]A=-\frac13[/tex] og [tex]B=-\frac29[/tex]


Moralen er (som min gamle fysikkprofessor pleide å si), at gjetningen på partikulærløsning bør ligne veldig på uttrykket på "høyresida" (da mener jeg høyresida av ligningen slik den vanligvis skrives i alle lærebøker), men husk å sleng på konstanter foran alle ledd (som bestemmes ved innsetting i ligningen.)

Tusen takk for kjempe hjelp
Nå forstår eg det faktisk. Takk.

Oppgaveløsning etter hjelp, gikk knirkefritt. Men så kom eg til en oppgave hvor

f(t)= 8*t*(e^(-t))

Løsningen av den homogene likningen er x(t)= C1e^t+C2*t*e^t+C3*e^-t
Altså relle røtter r=1 med multiplisitet 2
Og reell rot r=-1 med multiplisitet 1

I fasit er partikulærløsning U*=t*(At+B)*e^(-t) foreslått.
Men skjønner ikke helt logikken bak dette.
(ser sammenheng med at -1 er en reell rot av den homogene..)