matematikk.net

Hei,
Kan noen hjelpe meg litt med denne oppgaven?


Vis ved induksjon at følgende påstand er sann for alle naturlige tall n:

n^3 - n er delelig med 3


Jeg har forstått at jeg må starte med basissteget og erstatte n, men jeg vet ikke helt hvordan jeg skal fortsette etter det. Er det meningen at jeg skal finne ut om n+1, altså (n+1)^3 - (n+1), er sann?

Du skal anta at det stemmer for n = k, og skal vise at det da gjelder for n = k+1

okisou wrote: Jeg har forstått at jeg må starte med basissteget og erstatte n, men jeg vet ikke helt hvordan jeg skal fortsette etter det. Er det meningen at jeg skal finne ut om n+1, altså (n+1)^3 - (n+1), er sann?

Stemmer, du må vise at dersom [tex]n^{3}-n[/tex] er delelig med 3, så er også [tex](n+1)^{3}-(n+1)[/tex] delelig med 3.

(i tillegg på du sjekke n=1, men det er trivielt her!)

Lord X wrote: Stemmer, du må vise at dersom [tex]n^{3}-n[/tex] er delelig med 3, så er også [tex](n+1)^{3}-(n+1)[/tex] delelig med 3.

(i tillegg på du sjekke n=1, men det er trivielt her!)

Men hvordan får jeg sjekket det? Er det bare å sette inn random tall for n, eller..? c:

Hei!
Det ligger en tråd på forumet som er noen dager gammel, som forklarer induksjon i stor detalj prøv å søk etter den!

Nei, det må gjerast meir generelt (som eg sa i forrige post). Hugs at det du vil vise er at påstanden P(n) er sann for alle n, der P(n) er fylgjande påstand:

"[tex]n^{3}-n[/tex]er delelig på 3"

Vi sjekker først at det gjeld for n=1, dvs. at P(1) er sann:

[tex]1^{3}-1=1-1=0[/tex]
og 0 er delelig med 3, altså ok!

ANTA så at det gjeld for ein gitt verdi n (der n kan vere kva som helst, men vi får altså ikkje lov til å sette inn eit spesifikt tal i argumentet vårt), dvs. anta at P(n) er sann.

Kva då med P(n+1)? Jo, då må vi sjå på uttrykket [tex](n+1)^{3}-(n+1)[/tex]. Vi starter med å gange ut parantesen. Du kan sikkert sjølv sjekke at vi får dette:

[tex]n^{3}+3n^{2}+3n+1-(n+1)=(n^{3}-n)+3(n^2+n)[/tex]

Ser du nå korleis vi kan vise at P(n+1) også er sann? (gitt av vi veit P(n) er det!)

Totalt sett veit vi nå at P(1) er sann, og at dersom P(n) er sann så er P(n+1) sann. Altså må P(2) vere sann, altså må P(3) vere sann, altså må P(4) vere sann osv. i det uendelege.

Tusen takk for svar! Nå forsto jeg oppgaven bedre.