matematikk.net

Hello!
Sliter litt med å bestemme grensen på følgende oppgave:

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^{x^2^}{\sqrt{9+25x^3}dx}[/tex]

Jeg tenker at hvis jeg setter integralet over brøkstreken til første uttrykket, så får vi et ubestemt 0 over 0 uttrykk. Og at jeg derfor kan bruke L'Hopital.. Er denne strategien rett tro? Integralet er vel umulig å løse.. for meg i hvert fall.

Men hvordan skal jeg egentlig derivere integralet? Blir litt forvirret av oppgaven..

Edit: Glemte rotuttrykket

Det høres ut som en god strategi.

For å derivere integralet får du bruk for det som ofte kalles analysens fundamentalteorem. Det sier kort sagt at [tex]\frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_a^x f(x) \text{d}x = f(x)[/tex]. Er du kjent med det?

Her må du huske på at det er [tex]x^2[/tex] i øvre grense. Integralet er altså en sammensatt funksjon der indre funksjon er [tex]u(x) = x^2[/tex] og ytre funksjon er funksjonen som gir integralet fra 0 til u. Da må du altså bruke kjerneregelen sammen med fundamentalteoremet.

Ok, takk for godt svar. Jeg tror jeg forstod hva du mente.. Ser det riktig ut det jeg har kladdet ned?

Ja, dette ser såvidt jeg kan se bra ut

Tusen takk for hjelpen!

Nei, ikke helt

Husk at i kjerneregelen får du at [tex](f(u(x)))^\prime = f^\prime(u(x)) \cdot u^\prime(x)[/tex].

Her har du satt inn x i stedet for u, altså [tex]x^2[/tex] i den deriverte av integralfunksjonen, ser du det?

Titter du litt nøyere har han benyttet seg av kjerneregelen (om noe ufin føring), tenkte å nevne det, men så ut som du hadde snøring ; )

Den mer generaliserte fundamentalsetningen er vist under, hvor en benytter seg av kjerneregelen to ganger.

[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} {\Huge(} \int_{u(x)}^{v(x) }f(t) \mathrm{d}t\,{\Huge)}\,=\,f[v(x)]v^\prime(x)-f[u(x)]u^\prime(x)[/tex]

Kan overlate detaljene til deg

EDIT: Selvsagt er bare meg som er døtt og søvning.

Det er ikke det jeg reagerer på heller. Det som er feil er at det er x, og ikke [tex]u = x^2[/tex], som er satt inn i integranden. Den korrekte deriverte blir [tex]\sqrt{9+25(x^2)^3} \cdot 2x[/tex]. (Det har ikke noe å si for grenseverdien, siden x går mot 0, men rett skal være rett.)

Aha.. Ja, ser den Nå forstod jeg faktisk hva som skjer, jeg var nok litt ute å kjøre i stad.
Takk, takk!