matematikk.net

Noen som kan hjelpe meg med å forkorte denne brøken, samt vise framgangsmåte og oppgi regel for slike regnestykker?

x[sup]3[/sup] - 2x[sup]2[/sup] - 11x + 12
2x-8

Har en del videoer om polynomdivisjon som starter med denne. Hvis du ser disse så burde fremgangsmåten være i boks

Tusen takk! Men er det nøyaktig samme framgangsmåte på andregradslikninger som tredjegradslikninger?

Jepp! Fremgangsmåten er nøyaktig lik, kun med et ekstra steg siden det er et ekstra ledd. I den andre videoen i serien så er det jo et eksempel med tredjegrads polynom

Dette er en veldig mekanisk måte å gjøre det på, for eksempel om du har

[tex]\frac{x^2-1}{x+1}[/tex]

så kan du forkorte brøken uten bruk av polynomdivisjon, jeg antar du klarer å se hvorfor. Så etter litt tid velger jo en bare den enkleste måten å gjøre ting på.

Polynomdivisjon er en kjekk sak å kunne, men bare nevner at det finnes mange andre måter å gjøre det på og, som i mine øyne ikke krever like mye regning.

For eksempel dersom et polynom har heltallsløsningen vil disse alltid være delelig på konstantleddet (eller faktorer av konstantleddet)

Så eventuelle heltallsløsninger du kan tippe på er her

[tex]\pm 12[/tex], [tex]\pm 4[/tex], [tex]\pm 3[/tex], [tex]\pm 1[/tex].

Etter veldig kort tid vil du ha klart å tippe alle løsningene, og faktoriseringen blir en smal sak.

Angående oppgaven din, så er brøken mulig å forkorte hvis og bare hvis [tex]x=4 [/tex] er et nullpunkt. Noe vi ser fra teller. Setter vi inn [tex]x=4[/tex] i teller ser vi at dette stemmer.

En frekk omskriving gir oss følgende faktorisering, hvorfor vi skriver om uttrykket vårt slik vi gjør er nettop fordi [tex]x=4[/tex] er en løsning.

[tex]\begin{array}{lcr} P(x) & = & x^3-2x^2-11x+12 \\ & = & (x^3-4x^2) + (2x^2-11x+12) \\ & = & x^2(x-4) + (2x-3)(x-4) \\ & = &x^2 \cdot a + (2x-3)\cdot a \\ & = & a[x^2 + (2x-3) ] \\ & = & (x-4)(x^2+2x-3) \\ & = & (x-4)(x+3)(x-1)\end{array*}[/tex]

Hvor jeg satte [tex]a=x-4[/tex] for å se faktoriseringen litt lettere, å faktorisere andregradspolynomene lar jeg være opp til deg. Alternativt kan vi og skrive om polynomet slik

[tex]\begin{array}{lcr} P(x) & = & x^3-2x^2-11x+12 \\ & = & (x^3 - x^2) - (x^2+11x - 12) \\ & = & x^2(x-1) - (x-1)(x+12) \\ & = & x^2 \cdot a - a \cdot (x+12) \\ & = & a [x^2 - (x+12) ] \\ & = &(x-1)(x^2 - x + 12) \\ & = & (x-1)(x+3)(x-4) \end{array*}[/tex]

Hvor igjen vi satte [tex]a=x-1[/tex] for å se faktoriseringen litt lettere.
[/tex]