Ekvivalensrelasjon og Ekvivalensklasse

[okisou]

Hei,
jeg trenger litt hjelp med å løse denne oppgaven. Har sittet med den ganske lenge nå, men kommer ingen veier. Kan noen vise meg hvordan jeg kan gå fram her?


La ~ være en ekvivalensrelasjon på de naturlige tallene, og la E være [0], det vil si, ekvivalensklassen til tallet 0.

a) Bevis at E ikke er lik den tomme mengden.
b) Bevis at alle naturlige tall x og y som er elementer i E, er slik at x ~ y.
c) Vi har lært at hvis x ~ y, så [x] = [y]. Er det motsatte også tilfellet, det vil si at hvis [x] = [y], så x ~ y? Hvis ja, gi et bevis for det; hvis nei, gi et moteksempel.

[Vektormannen]

Noe som kan hjelpe deg i gang:

a) Kan du tenke deg et tall som må ligge i E?

b) Hva vil det si at x og y er elementer i E? Hva må x og y være relaterte til? Hva vet du om ~ når ~ er en ekvivalensrelasjon?

c) Se på et element i [x] og [y]. Hva må det elementet per definisjon oppfylle?

[henrik2706]

Hei Okisou og Vektormannen!

Jeg sitter med samme oppgaven, tro det eller ei. Jeg sliter nok mest med å forstå C. Er det greit jeg poster forslaget mitt til bevis på oppg C her? Jeg kunne godt tenke meg innspill på beviset mitt.

[Vektormannen]

For all del. Det er greit for meg i alle fall

[henrik2706]

1) Anta at [x] = [y]
2) At [x] og [y] er like, og alle elementer i en ekvivalensklasse er transitivt, symmetrisk og refleksivt relatert til hverandre, impliserer dette at x ∼ y.


Dette er kanskje et litt tynt bevis?

[Vektormannen]

Jeg tror jeg ville vist litt grundigere hvorfor det at [x] og [y] er like impliserer at x ~ y. Det kan du f.eks. gjøre ved å se på et element z. At [x] = [y] vil si at [tex]z \in [x][/tex] hvis og bare hvis [tex]z \in [y][/tex]. Hva kan du si om z? (Hva må z oppfylle for å være med i hver av de to?)

[henrik2706]

Noe sånt som dette? Eller bommer jeg fortsatt på hovedpoenget?

1) Anta at [x] = [y], og at z ∈ [x] og [y]
2) Da må z være relatert til seg selv, og være transitivt og symmetrisk relatert til både x og y.
3) Dette impliserer at x ∼ y.

[Vektormannen]

Jeg tror ikke du bommer på hovedpoenget egentlig, men det kan kanskje ikke skade å gjøre det helt eksplisitt hva som gjør at x ~ y.

At [x] = [y] vil si at for hver [tex]z \in [x][/tex] er [tex]z \in [y][/tex] og omvendt. Da må z ~ x og z ~ y. Siden ~ er en ekvivalensrelasjon er den symmetrisk, så vi har da at x ~ z. Men ~ er også transitiv, så x ~ z og z ~ y impliserer per definisjon at x ~ y.

Dette er det samme som du sier i ditt bevis, men her gjøres steget fra 2 til 3 helt klart. Det kan godt være at andre syns det er unødvendig å ta med dette. Det får noen med mer fartstid avgjøre

[henrik2706]

Tusen takk for svar!