matematikk.net

Oppgaven:
Et fyrtårn sender ut en lysstråle som roterer med konstant fart, 2 omdreininger i minuttet. Fyrtårnet ligger 0.5 km fra en rettlinjet strandlinje. Finn strålens fart langs strandkanten på stranden 1 km fra fyrtårnet.

Lager følgende figur:


Har at [tex]\frac{dv}{dt}=4\pi[/tex].

Pytagoras gir at
[tex]\left(\frac{0.5}{\cos(v)}\right)^2=x^2+0.5^2[/tex]
[tex]\frac14\cos^{-2}(v)=x^2+\frac14[/tex]

Deriverer begge sider med hensyn på tiden.

[tex]-\frac12\cos^{-3}(v)\cdot \frac{dv}{dt}=2x\frac{dx}{dt}[/tex]

Multipliserer begge sider med [tex]\left(\frac12\right)^2[/tex].

[tex]-\left(\frac{1}{2\cos(v)}\right)^3\cdot \frac{dv}{dt}=\frac12x\frac{dx}{dt}[/tex]

Har at [tex]\frac{1}{2\cos(v)} = y[/tex], slik at

[tex]-y^3\cdot \frac{dv}{dt}=\frac12x\frac{dx}{dt}[/tex]

På tidspunktet er [tex]y=1[/tex] og [tex]x=\sqrt{1^2-0.5^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

Vi får dermed

[tex]-1^3\cdot 4\pi=\frac12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{dx}{dt}[/tex]

Og at

[tex]\frac{dx}{dt} = -\frac{16\pi}{\sqrt{3}}[/tex]

Men dette stemmer ikke med fasit som sier [tex]8\pi[/tex]. Hvor ligger feilen? På forhånd takk for svar.

når du deriverer begge sider, og cosinus, glemmer du kjerneregel'n.
dvs (cosv)' = -sinv.
da forkortes roten av 3 på begge sider....

Der har vi det, ja. Glemte visst å ta med den ene kjernen … Tusen takk.