matematikk.net

Hei! Jeg skal vise at [tex]\frac{d^2}{dx^2}[/tex] er en hermitesk operator. Altså at:

[tex]\int{\Psi^*_i\hat{\Omega}\Psi_j dx} = (\int{\Psi^*_j\hat{\Omega}\Psi_idx})^*[/tex]

I dette tilfellet er
[tex]\hat{\Omega} = \frac{d^2}{dx^2}[/tex]

Så setter inn i integralet til venstre:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx}[/tex]

Bruker delvis integrasjon for å løse dette:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - \int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i}dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

Setter dette inn i totaluttrykket:

[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - (\frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx})[/tex]

[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i + \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

De første to leddene kan strykes mot hverandre, og vi står igjen med:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx} = (\int{\Psi_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi^*_j dx})^*[/tex]

Og så var det vel strengt talt ikke dette jeg skulle vise.. Eller? Er det noe jeg ikke ser her?

Mulig jeg har gjort noe feil i integrasjonen, men etter mange gjennomtittinger har jeg likevel ikke funnet noen.. Hjelp?

Den andre gangen du bruker delvis integrasjon gjør du det "motsatt" av hva du egentlig skal gjøre slik at du går tilbake til utgangspunktet igjen.

Altså her

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

Det skal vel være

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i - \int{\Psi_j\frac{d^2}{dx^2}\Psi^*_i dx}[/tex]

For å kvitte deg med leddene som ikke er integraler må du vel sikkert bruke noen grensebetingelser. (f.eks. at bølgefunksjonene eller dens deriverte er 0 i endepunktene)

Hmmm.. Skjønner ikke..

Bruker denne formelen for delvis integrasjon:
[tex]\int{f\frac{dg}{dx}dx} = fg - \int{g\frac{df}{dx}dx}[/tex]

Så i uttrykket:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i}[/tex]

er jo
[tex]f = \frac{d}{dx}\Psi_j[/tex] og [tex]\frac{dg}{dx}=\frac{d}{dx}\Psi^*_i[/tex]

Videre blir det:
[tex]\frac{df}{dx}=\frac{d^2}{dx^2}\Psi_j[/tex] og [tex]g = \Psi^*_i [/tex]

Setter dette inn i uttrykket:
[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j}[/tex]

Hvorfor blir det ikke riktig å gjøre det sånn?

Jeg sier ikke at de utregningene du har gjort er feilaktig utført. Problemet er at de ikke leder til noe annet enn det du allerede vet.

Er du enig i at dersom du skal bruke delvis integrasjon på integralet

[tex]\int f^,g^,dx[/tex], så er det 2 måter å gjøre det på:

1. [tex]\int f^,g^,dx=[f^,g]-\int f^{,,}gdx[/tex]

2. [tex]\int f^,g^,dx=[fg^,]-\int fg^{,,}dx[/tex] ?

Begge disse omskrivningene er "lov".

Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

Nova wrote:Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

Ja

Takk for hjelpa!