matematikk.net

[tex]x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=3^n[/tex]

Finn den partikulære løsningen.

Det blir bare et fordømt rot når jeg prøver. Hvis noen kan gå igjennom denne steg for steg vil jeg bli rørt til tårer, nesten.

Du løser vel den homogene ligningen først:

[tex]x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=0[/tex].

Ansatz: [tex]x_n=k^n[/tex] for en foreløpig ukjent konstant k.

Innsatt i ligningen fås karakteristisk ligning [tex](k-3)^2=k^2-6k+9=0[/tex]. Altså får vi en dobbelrot.

Homogen løsning blir [tex]x_n=A3^n+Bn3^n[/tex].

Siden høyresida på den opprinnelige ligningen også er på formen [tex]3^n[/tex] er det natrurlig å gjette på at partikulærløsningen er på formen [tex]x_n=Cn^23^n[/tex]. Konstanten C bestemmes ved innsetting. Vi får at

[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]

og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].

Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså

[tex]x_n=A3^n+Bn3^n+\frac{1}{18}n^23^n[/tex] for vilkårlige konstanter A og B bestemt av initialbetingelser.

plutarco wrote:
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]

og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].

Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså

Det er dette leddet jeg sliter med. Hvordan skal jeg forholde meg til [tex]3^{n+2}[/tex] osv?

asdf wrote:

plutarco wrote:
[tex]C(n+2)^23^{n+2}-6C(n+1)^23^{n+1}+9Cn^23^n=3^n[/tex]

og etter litt utregning blir [tex]C=\frac{1}{18}[/tex].

Generell løsning er summen av homogen og partikulær, altså

Det er dette leddet jeg sliter med. Hvordan skal jeg forholde meg til [tex]3^{n+2}[/tex] osv?

[tex]3^{n+2}=3^n\cdot 3^2=9\cdot 3^n[/tex]

(Del hele ligningen på [tex]3^n[/tex])

Ja, selvsagt. Takk skal du ha!

Æsj, jeg vet ikke om jeg skjønner dette allikevel.

plutarco wrote: Siden høyresida på den opprinnelige ligningen også er på formen [tex]3^n[/tex] er det natrurlig å gjette på at partikulærløsningen er på formen [tex]x_n=Cn^23^n[/tex]

Hvorfor det? Altså: Hvor kommer n^2 fra?

Når du har såkalt repeterte røtter i den karakteristiske ligningen er det en tommelfingerregel som sier at du, for å få to uavhengige løsninger, "jekker" opp den ene løsningen ved å multiplisere den med variabelen n. (dette er analogt for differensialligninger). Når i tillegg høyresida av ligningen er på samme form som de homogene løsningene "jekker" man opp partikulærløsningen enda et hakk ved å multiplisere med en ekstra n.

Dette er veldig vage løsningsteknikker som man etter å ha jobbet endel med differens. og differensialligninger lærer seg til å se. Det er ikke i utgangspunktet åpenbart at dette gir riktige løsninger, men etterhvert blir man vant til å se dette. Uansett kan du ved innsetting se at løsningene stemmer i etterkant.