matematikk.net

Jeg har et problem... Jeg har en plate som har en bredde på k cm(i oppgaven jeg holder på med er den 30cm, men siden jeg ikke trenger svaret så bruker jeg K) Den skal brettes til en takrenne slik at tversnittet gir et areal som er størst mulig. Hvis dere skjønner oppgaven.

Det jeg lurer på er om d finnes noen formel?

JensChr

Hvilken form skal denne takrenna være? Skal den være en del av en sirkel?, Må den ha en viss dybde?, visst volum per lengdeenhet e.l? Hvis ikke kan du bare lage den 29,99... cm brei, med infinte små kanter.

Tverrsnittet av renna må ha form som en halvsirkel. Dette følger av et kjent teorem innen variasjonsregningen som omhandler såkalte isoperimetriske problemer: Blant alle lukkede flater i planet med en gitt omkrets, er sirkelen den som har størst areal.

Altså må k=[pi][/pi]r (omkretsen av en halvsirkel med radius r), dvs. at r=k/[pi][/pi]. Dermed blir det maksimale arealet av tverrsnittet av takrenna

[pi][/pi]r[sup]2[/sup]/2 (arealet av en halvsirkel med radius r) = [pi][/pi](k/[pi][/pi])[sup]2[/sup] /2 = k[sup]2[/sup]/(2[pi][/pi]).

ops.. den skal ha et rektaluær tverrsnitt...

Hvis x og y er hhv. høyden på og bredden av den rektangulær formete takrenna, så må 2x+y=k. Dermed blir arealet A av tverrsnittet av takrenna

A = xy = x(k - 2x) = kx - 2x[sup]2[/sup]

Den deriverte av A mhp. x blir k - 4x. M.a.o. blir A maksimal når x=k/4 som gir

A=(k/4)*(k - (2k/4)) = k[sup]2[/sup]/8.

Tusen hjertelig takk... Men hvor fikk formelen fra?

Takrenna er rektangulær, dvs. den har formen └┘. Bunnen har lengde y og "veggene" lengde x. Siden takrenna består av to vegger (av samlet lengde 2x) og en bunn, må 2x + y = k (k er jo bredden av plata som skal brettes til en takrenne). Alså er y = k - 2x.

Ettersom x og y er hhv. høyden på og bredden av den rektangulær formete takrenna, blir arealet A av tverrsnittet av takrenna (som er rektangulært)

A = høyden (av veggen) * bredden (av bunnen) = xy = x(k - 2x) = kx - 2x[sup]2[/sup].