matematikk.net

Vis at [tex]\frac{x^2+y^2}{4} \leq e^{x+y-2}[/tex] for [tex](x,y) \geq 0[/tex]

Har ikke løst denne selv, og ser ikke ut som jeg kommer til å få det til heller

Starthjelp:

Reduser problemet til en variabel.

Videre vink:

Vis at f(x) = exp( x-2 ) - x²/4 aldri er negativ...

Hvorfor har f'(x) akkurat to nullpunkt. Kan vi si noe om hvor disse ligger?

Hva mener du med [tex](x,y) \geq 0[/tex] ? At både x og y skal være større enn null?

Jeg tror nok det menes at både x og y er ikke-negative. Slik tolket jeg oppgava ihvertfall.

Ja, det stemmer.

[tex]x \geq 0, \ y \geq 0 \ \equiv \ (x,y)\geq 0[/tex]

I polarkoordinater får vi at

[tex]\frac{r^2}{4}\leq e^{-2}e^{r(\cos(\theta)+\sin(\theta))}[/tex]

Vi begrenser oss så til første kvadrant:
Holder vi radien konstant ser vi at høyresida har minimum for [tex]\theta=0[/tex] og [tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]. (siden [tex]e^x[/tex] er monotont voksende).

Altså er

[tex]e^{-2}e^r \leq e^{-2}e^{r(\cos(\theta)+\sin(\theta))}[/tex]

Problemet er nå redusert til én variabel, og det eneste vi trenger å gjøre er å vise at [tex]0\leq 4e^{-2}e^r-r^2[/tex]

[tex]r=0[/tex] gir at høyresida er positiv. det nok å vise at funksjonen til høyre aldri er negativ for positive r, noe som kan vises ved å finne minimum til funksjonen via rett-frem derivasjon. Siden minimumet er positivt, er funksjonen positiv for alle ikkenegative r, og vi er ferdig.

Å derivere

[tex]4 e^{-2}e^r - r^2 = g(r) [/tex]

er rett fram, vi får:

[tex]g^\prime(r) = 4 e^{-2}e^r - 2r[/tex]

Det kan imidlertid være et visst problem å avgjøre når dette er negativt/positivt/null.

Hvis vi prøver oss litt fram, kan vi finne:

[tex] g^\prime(0) \, > \, 0 [/tex]
[tex] g^\prime(1) \, < \, 0 [/tex]
[tex] g^\prime(2) \, = \, 0 [/tex]
[tex] g^\prime(3) \, > \, 0 [/tex]

Altså har [tex]g^\prime(r)[/tex] nullpunkt for [tex]r[/tex] lik 2 og et tall mellom 0 og 1.
Har [tex]g^\prime(r)[/tex] flere nullpunkt?
Svaret er nei, grunnen er at [tex]g^\prime(r)[/tex] er en konveks funksjon.

Vi bør nå se forholdsvis greit at [tex]g(r)[/tex] har minsteverdi lik 0 som skjer når
[tex]r \, = \, 2[/tex].