matematikk.net

Finn øvre og nedre Riemannsummer for f(x) = x^3, hvor x er element i [0,1], del intervallene opp i lik lengde. Vis at lim n->uendelig for L(f,Pn) = lim n->uendelig for U(f,Pn)

Skjønner at de må gå mot det samme i teorien, for at vi skal kunne intergrere, men å føre dette klarer jeg ikke, heller ikke finne Riemannsummene når jeg ikke vet hvor mange intervall jeg skal dele opp i.

Deler inn i n delintervaller. Bredden på hvert intervall blir da: (1-0)/n = 1/n

x[sub]0[/sub] = 0 x[sub]n[/sub] = 1

x[sub]i[/sub] = i/n (i delintervaller bortover tallinjen.

Funksjonsveridien i x[sub]i[/sub] = i^3/n^3

L(f,Pn) = [sigma][/sigma]1/n*i^3/n^3
fra i = 0 til n-1
Siden vi skal ha den laveste høyden på alle intervallene

U(f,Pn) = [sigma][/sigma]1/n*i^3/n^3
fra i = 1 til n
Siden vi skal ha den høyeste høyden på alle intervallene.

Så er det bare å finne summene uttrykt vha n (1/n^4 er konstant og [sigma][/sigma]i^3 har du formel for i boka.)

Ta lim n går mot uendelig og se at de går mot samme grense: 1/3

[sigma][/sigma]

Joda, skjønner det helt til jeg prøvde å finne grensen. Fikk (1/4), fordi jeg summerte fra i=0 til n.

Problemet oppstår ved at jeg jo skal finne L(f,Pn) = Σ1/n*i^3/n^3 fra i = 0 til n-1 . Min formel for [sigma][/sigma] i^3 er n^2 * (n +1)^2)/4 for i=0 til n.

Hvordan blir det da for i=0 til n-1?

Siden du bare skal ta med alle leddene til n-1 og din formel gjelder til n må du bare trekke fra n^3.
Summen av i^3 fra 0 til n-1 blir altså da:

n^2(n+1)^2/4 - n^3

Akkurat, prøver å skrive ut den summen nå, men kommer jeg frem til rett svar, neida. Tror rett og slett jeg bare må be deg pent om å skrive den ut, jeg står der med (1/n^4) * (n^2(n+1)^2/4 - n^3)

Huff.

Eg har skrevet feil.
Grensen skal gå mot 1/4 og ikke 1/3.

Beklager

[itgl][/itgl]x^3 = 1/4x^4 innsatt grensene 0 og 1 blir det 1/4.