Finne skråasymptoter

[wingstad]

Kan noen hjelpe meg med å vise fremgangsmåte for å finne skråasymptotene for:

1. x^2 / x + 1

2. 2x^3 - 3x^2 + 3x - 6 / x^2 + 1

[Aleks855]

Hmm, en stund siden jeg har holdt på med dette nå.

På den første får jeg skrå asymptote lik x-1. Stemmer det med fasit?

[Kork]

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... php?aid=36
Funker det?

[wingstad]

Ja, jeg har svarene i fasit, men sliter med fremgangsmåten. Hvordan utførte du utregningen?

Takk for svar til begge!

[fuglagutt]

Du deler (polynomdivisjon);

[tex]\frac {x^2}{x+1}=(x-1+\frac{1}{x+1})[/tex]

Når x går mot uendelig vil [tex]\frac{1}{x+1}[/tex] gå mot 0, og funksjonen vil hele tiden nærme seg [tex]f(x)=(x-1)[/tex]

[wingstad]

Aha, kan du vise meg polynomdivisjonen for den andre også? Må friske opp litt dårlig hukommelse!

[FredrikM]

Generell fremgangsmåte for (skrå-)asymptoter:

Du har lyst å finne en lineær funksjon [tex]ax+b[/tex] slik at [tex]\lim_{x \to \infty} f(x)-(ax+b)=0[/tex]

Du kan enten finne denne direkte, eller finne a og b separat:

Finne a:
Dette er stigningstallet til asymptoten. Her holder det å regne ut
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a[/tex]

Om det viser seg at [tex]a=\infty[/tex], har funksjonen ingen asymptote.

Finne b:
Når du har funnet a, er b gitt ved grensen
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)-ax[/tex].

---
Vi regner oppg 2 som eksempel:

Først a. Gitt som grensen
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-3x^2+3x-6}{x^3+x}=2[/tex]

Så funksjonen har en asymptote. Nå er b gitt som
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3-3x^2+3x-6}{x^2+1}-2x=\frac{2x^3-3x^2+3x-6-(2x^3+2x)}{x^2+1}=\frac{-5x^2+3x-6}{x^2+1}=-5[/tex]

Så funksjonen [tex]y=2x-5[/tex] er en asymptote.

[wingstad]

Tusen takk, nå henger jeg med. Virkelig, takk!