matematikk.net

Fikk denne oppgaven i en tweet fra en seer. Syntes den var litt interessant.

Bevis for alle naturlige tall for [tex]n[/tex] at [tex]n^{\frac{1}{n}}<1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}[/tex]

Første som slo meg er at n=1 gir udefinert brøk under radikaltegnet, men ellers...

[tex]n^{\frac1{n}} < 1+\sqrt{\frac{2}{n-1}[/tex]
[tex]n<(1+\sqrt{\frac{2}{n-1}})^n=1+n\sqrt{\frac{2}{n-1}}+\frac{n\times (n-1)=/1\times 2}\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}\frac{2}{n-1}...[/tex]
I det andre leddet i binominalekspansjonen vil man stå igjen med n og ulikheten er opplagt, siden alle andre ledd er positive.

Hva om man ønsker å vise ulikheten for alle reelle tall n > 1?