matematikk.net

Er funksjonen

f(x) = sinx/ x når x er [-1,0) U (0,-1]
0 når x = 0

Uniformt kontinuerlig på [-1,1] ?

Og hva med cos (e^(1/x)) på (0,1) ?

Hva har du gjort selv?

Ingenting. Vet ikke hvordan jeg skal starte.

Sjekk grensa for sinx/x når x går mot 0. Er funksjonen kontinuerleg i x=0?

At en funksjon er uniformt kontinuerlig betyr at du kan bruke samme [tex]\delta[/tex] i hele intervallet for å få til ønsket [tex]\eps[/tex].

Spesielt er en uniformt kontinuerlig funksjon kontinuerlig, og da må vi ha at [tex]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex] i hele definisjonsområdet. Dette stemmer ikke for din funksjon, siden [tex]\sin x /x \to 1[/tex] når [tex]x \to 0[/tex].

For den andre, [tex]\cos(e^{1/x})[/tex] er det intuitivt klart at denne ikke er uniformt kontinuerlig på intervallet, siden den oscillerer raskere og raskere ettersom [tex]x \to 0[/tex].

For å vise at funksjonen ikke er uniformt kontinuerlig, holder det å finne en følge med kortere og kortere intervaller, men slik at funksjonsforskjellen ikke blir mindre. Dette viser at du kan ikke finne èn [tex]\delta[/tex] som funker for alle [tex]\eps[/tex]. F.eks, la [tex]a_n = \frac{1}{\pi n}[/tex] og [tex]a_m = \frac{1}{0.5\pi m[/tex]. Da går [tex]|a_n-a_m| \to 0[/tex] når [tex]m,n \to \infty[/tex], men [tex]|f(a_n)-f(a_m)|=1[/tex] for alle [tex]m,n[/tex].

Når det gjeld cos(e^{1/x}), går det an å prove at den ikkje er uniformt kontinuerleg utan bruk av følgjer? Hint?

Flodhestbiff wrote:Når det gjeld cos(e^{1/x}), går det an å prove at den ikkje er uniformt kontinuerleg utan bruk av følgjer? Hint?

EDIT: feil det jeg skrev

Har du eit bevis for det? At når den deriverte er avgrensa på intervallet, er funksjonen uniformt kontinuerleg der, er lett å vise, men det finst jo funksjonar som er uniformt kontinuerlege, men som likevel har ein uavgrensa derivert der?

Flodhestbiff wrote:Har du eit bevis for det? At når den deriverte er avgrensa på intervallet, er funksjonen uniformt kontinuerleg der, er lett å vise, men det finst jo funksjonar som er uniformt kontinuerlege, men som likevel har ein uavgrensa derivert der?

Bare glem det jeg skrev. Du har rett i at dette ikke gjelder.

Flodhestbiff wrote:Når det gjeld cos(e^{1/x}), går det an å prove at den ikkje er uniformt kontinuerleg utan bruk av følgjer? Hint?

For å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig, må du finne et intervall som blir kortere og kortere, men slik at funksjonsforskjellene ikke blir mindre og mindre.

Jeg ser ikke hvordan du kan gjøre dette uten følger.

FredrikM wrote:For å vise at en funksjon ikke er uniformt kontinuerlig, må du finne et intervall som blir kortere og kortere, men slik at funksjonsforskjellene ikke blir mindre og mindre.

Jeg ser ikke hvordan du kan gjøre dette uten følger.

Kan hende framgangsmåten min har vore å bruke følgjer utan å vere bevisst på det. Har brukt definisjonen av uniform kontinuitet på liknande oppgåver og funne to punkt (eller ofte to følgjer av punkt) der intervallet vert tilstrekkeleg lite, men avstanden mellom funksjonsverdiane held seg tilstrekkeleg stort.