matematikk.net

Hei,
Sitter og regner på noen oppgaver, og har kommet over en oppgave som sier:

Løs følgende initialverdiproblem:

[tex]y\prime\prime + 3y\prime - 28y = 14[/tex]

I) [tex]y(0) = 2[/tex]

II) [tex]y\prime(0) = -1[/tex]

Jeg har aldri gjort dette før, og heller ikke hørt om initialverdiproblemer. Er dette en differnsiallikning?

Skal jeg finne løsningene og deretter sørge for at den oppfyller I og II?

Ja, det er en differensialligning, og du skal gjøre som du selv foreslår ist i innlegget ditt.

Ok, tusen takk for hjelpen. Vet du grunnen til at det kalles "initialverdiproblem", hva innebærer initialverdi?

y(0) er initialverdien til funksjonen. Altså der funksjonen "starter" eller "initieres". Vanligvis kan man argumentere for at det finnes y(-a) også, men siden slike difflikninger ofte relateres til reelle hendelser, så er det y(0) som er startverdien til systemet.

Når man får y(0) oppgitt, så kalles det et initialverdiproblem.

Vel, initialverdiene er samtlige n-1 oppgitte verdier for en n-te grads differensialligning.

Hvis man får oppgitt y(2), kalles det fremdeles initialverdi?

Aleks855 wrote:Hvis man får oppgitt y(2), kalles det fremdeles initialverdi?

Ja

Takk så langt. Siterer meg selv og prøver problemet. Har støtt på en aldri så liten utfordring.

MatteNoob wrote: [tex]y\prime\prime + 3y\prime - 28y = 14[/tex]

I) [tex]y(0) = 2[/tex]

II) [tex]y\prime(0) = -1[/tex]

Si jeg antar at løsningen er

[tex]\huge y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}[/tex]

Så jeg setter

[tex]r^2 + 3r - 28 = 0[/tex], eller er det [tex]r^2 + 3r - 28 = 14[/tex]?

[tex]r^2+3r-28=0[/tex]

Du starter med å løse den homogene ligningen.

Tusen takk for hjelpen. Jeg tror jeg har skjønt litt mer av dette nå. Kan noen se over og korrigere meg hvis det jeg sier eller regner nedenfor er feil?

MatteNoob wrote: [tex]y\prime\prime + 3y\prime - 28y = 14[/tex]

I) [tex]y(0) = 2[/tex]

II) [tex]y\prime(0) = -1[/tex]

Jeg skal løse den homogene differensiallikningen først, deretter finne den partikulære løsningen?

Jeg prøvde meg frem slik:

[tex]r^2 + 3r - 28 = 0[/tex]

[tex]r=\{4,-7\}[/tex]

Så hvis [tex]y = y_h + y_p[/tex], der [tex]y_h[/tex] er den homogene løsningen, og [tex]y_p[/tex] er den partiklulære løsningen, så kan jeg anta at funksjonen på høyresiden og venstresiden er like, dvs

[tex]y = C[/tex], slik at [tex]y\prime =0[/tex] og [tex]y\prime\prime = 0[/tex]

og dermed

[tex]-28C = 14 \Rightarrow C = -\frac 12[/tex]

Man får da at den eksplisitte løsningen blir

[tex]y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-7x}[/tex]

[tex]y\prime(x) = 4C_1e^{4x} - 7C_2e^{-7x}[/tex]

som gir følgende (ved bruk av initialbetingelsene):

[tex]C_1 + C_2 = 2[/tex]

[tex]4C_1 - 7C_2 = -1[/tex]

[tex]C_1 = \frac{13}{11} \;\; C_2 = \frac{9}{11}[/tex]

kombinert gir dette

[tex]y(x) = \frac{13}{11}e^{4x} + \frac{9}{11}e^{-7x} - \frac 12[/tex]

MatteNoob wrote:Tusen takk for hjelpen. Jeg tror jeg har skjønt litt mer av dette nå. Kan noen se over og korrigere meg hvis det jeg sier eller regner nedenfor er feil?

MatteNoob wrote: [tex]y\prime\prime + y\prime - 28y = 14[/tex]I) [tex][tex][/tex]y(0) = 2[/te
II) [tex]y\prime(0) = -1[/tex]

Jeg skal løse den homogene diferensiallikningen først, deretter finne den partikulære løsningen?
Jeg prøvde meg frem slik:
[tex]r^2 + 3r - 28 = 0[/tex]
[tex]r=\{4,-7\}[/tex]
Så hvis [tex]y = y_h + y_p[/tex], der [tex]y_h[/tex] er den homogene løsningen, og [tex]y_p[/tex] er den partiklulære løsningen, så kan jeg anta at funksjonen på høyresiden og venstresiden er like, dvs
[tex]y = C[/tex], slik at [tex]y\prime =0[/tex] og [tex]y\prime\prime = 0[/tex]og dermed
[tex]-28C = 14 \Rightarrow C = -\frac 12[/tex]
Man får da at den eksplisitte løsningen blir
[tex]y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-7x}[/tex]
[tex]y\prime(x) = 4C_1e^{4x} - 7C_2e^{-7x}[/tex]
som gir følgende (ved bruk av initialbetingelsene):
C_1 + C_2 = 2
[tex]4C_1 - 7C_2 = -1[/tex]
[tex]C_1 = \frac{13}{11} \;\; C_2 = \frac{9}{11}[/tex]
kombinert gir dette
[tex]y(x) = \frac{13}{11}e^{4x} + \frac{9}{11}e^{-7x} - \frac 12[/tex]

her har du nok glemt C = -0.5, dvs
[tex]C_1 + C_2 -0,5 = 2[/tex]
trur eg...

Hei,
Jeg trodde man skulle løse konstantene ved hjelp av den homogene løsningen først, og så spe på med konstanten for den partikulære løsningen til slutt?

Janhaa wrote:her har du nok glemt C = -0.5, dvs
[tex]C_1 + C_2 -0,5 = 2[/tex]
trur eg...

Du har rett, takk :]