matematikk.net

Et par artige småoppgaver =)

[tex]1. ) \ a\,) \ [/tex] Konstruer et kvadrat [tex]P[/tex] med sidelengder [tex]2[/tex]
[tex] \hspace{22cm} b\,) \ [/tex] Konstruer ved hjelp av [tex]P[/tex], et kvadrat med dobbelt så stort areal som [tex]P[/tex].


[tex]2. ) \hspace{20cm} \[/tex] Konstruer en sirkel med areal [tex]4\pi[/tex]. Innskriv
[tex]\hspace{20cm}a\,) \ [/tex] en trekant i sirkelen, slik at trekanten har størst mulig areal.
[tex]\hspace{22cm}b\,) \ [/tex] en firkant i sirkel, slik at den har størst mulig volum


[tex]3. ) \ a\,) \[/tex] Vi har et kvadrat med sider [tex]s[/tex] finn forholdet mellom den omskrevne, og innskrevne sirkelen.
[tex]\hspace{22cm}b\,) \ [/tex] Vi har en likesidet trekant med sider [tex]s[/tex], finn forholdet mellom den omskrevne, og innskrevne sirkelen.
[tex]\hspace{22cm}c\,) \ [/tex](Utfordring) Vi har en regulær mangekant med sider [tex]s[/tex], hva er forholdet mellom arealet til den omskrevne sirkelen og arealet til den innskrevne sirkelen? Bruk formelen til å regne ut forholdet mellom den innskrevne og omkskrevne sirkelen til en regulær [tex]5[/tex]-kant og [tex]6[/tex]-kant. Hva skjer med forholdet når [tex]n[/tex] går mot uendelig?

1) a)
- Lager en linje og avsetter et punkt A
- Konstruerer en rett vinkel i A, og avsetter med passer D på normalen og B på den første linja 2cm fra A
- Slår en sirkel med r=2 i B og D, der disse krysser ligger C

b)
- Konstruerer midtnormaler på AB og BC og trekker dem gjennom hele kvadratet, får punktene E, F, G og H på henholdvis AB, BC, CD og AD, i tillegg til normalenes skjæringspunkt i midten av kvadratet, O.
- Setter passer i E og slår av lengden OE på linja ut fra kvadratet og finner A'. Gjør tilsvarende for de andre sidene og finner B',C' og D'. Slår linjene A'B', B'C', C'D og A'D'.

Dette kvadratet har [tex]s=2\sqrt2[/tex] og får dermed det dobbelte arealet lik 8

Evt kan man forlenge alle sidelender og halvere de ytre vinklene og forlenge linjene til de krysser.

2) a) - Slår en sirkel med r lik 2 og får en sirkel med [tex]A=4\pi[/tex]

En trekant innskrevet i en sirkel med radius r vil ha [tex]A=\frac12r^2(\sin u+\sin v+\sin w)[/tex] Hvor [tex]u+v+w=360[/tex]

[tex]\sin x[/tex] er en konkav funksjon i intervallet [0,180] siden den andrederiverte av funksjonen er[tex]-\sin x[/tex] og [tex]\sin x\geq0[/tex] (i samme intervall).
Ved jensens ulikhet:
[tex]\frac{\sin u+\sin v+\sin w}3\leq \sin (\frac{u+v+w}3)=\frac{\sqrt3}2[/tex]
Dette gir det største arealet: [tex]A=\frac12\times 4 \times \frac{3\sqrt3}2=3\sqrt3[/tex] Dette er nettopp den likesidede trekanten.
Konstruksjon: Lager en diameter i sirkelen og setter det en skjæringspunktet som A. Konstruerer 30 grader på oversiden og undersiden av diameteren i A og de to nye skjæringspunktene blir B og C.

b) Ved samme argumentasjon som i forrige oppgave vil man kunne vise at firkanten med størst areal vil være et kvadrat.
Konstruksjon: - Lager en diameter i sirkelen og slår midtnormalen, de fire skjæringspunktene med buen vil være kvadratets hjørner.

3) a) r - radius inskreven sirkel, R - radius omskreven sirkel,
[tex]r=\frac{s}2[/tex], [tex]R=\frac{\sqrt2 s}2[/tex] (ved pytagoras)
[tex]\frac{R}{r}=\sqrt2[/tex]
b) Kaller hjørnene A, B og C, sentrum O og midtpunktet på AB D. Ser på trekant ADO. Her er [tex]AO=R[/tex] og [tex]OD=r[/tex]
Dette gir [tex]\frac1{\sin 30}=\frac{R}{r}=2[/tex]
c) Kaller sentrum i mangekanten O, to hjørner ved siden av hverandre A og B, og midtpunktet mellom disse C. Ser på trekant AOC. Her er [tex]OC=r[/tex] og [tex]OA=R[/tex] I tillegg blir vinkel AOC lik [tex]\frac{180}{n}[/tex]
Videre blir [tex]f(n)=\frac{R}{r}=\sec (\frac{180}{n})[/tex]
[tex]f(5)=1,236[/tex] og [tex]f(6)=\frac{2\sqrt3}3[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty}f(n)=\frac1{\cos 0}=1[/tex]