matematikk.net

Leddene i en rekke er gitt ved

[tex]$${a_i} = {1 \over {{i^2}}} - {1 \over {{{\left( {i + 1} \right)}^2}}}$$[/tex]

a) Regn ut [tex]$${s_6}$$[/tex]

Dette har jeg gjort på kalkulator, og svaret ble [tex]$${{48} \over {49}}$$[/tex]

b) Vis at summen av de n første leddene er gitt ved [tex]$${s_n} = 1 - {1 \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$$[/tex]

Regner med at jeg anvender sum-formelen til en av rekkene, men hvordan går man fram på slike oppgaver?

Det som er cluet her er nok å gjenkjenne at du har med en spesiell type rekke å gjøre. Hvis du gjør a)-oppgaven på nytt igjen, men denne gangen for hånd så tror jeg du ser hva som skjer her! (Hint: Du vil se at flere av leddene kan strykes bort.)

Hvordan får man siste del av "vis at"-stykket? Ser at "1 - " står igjen, men ser ut som alt det andre blir strøket ut?

Blir alt det andre strøket ut? Du er nesten i mål nå, men se litt nøyere på hva som skjer i siste ledd. Blir alt i det leddet strøket ut?

Ah, tok den! F.eks. på a4 har vi at -1/25 står igjen, med andre ord 1/(n+1)^2 = 1/(4+1)^2 = 1/25. Flottings!

Bra!

Dette er et eksempel på det man kaller en teleskoprekke (telescope series.) Nesten alle leddene forsvinner mot hverandre bortover; rekken klapper sammen som når man trekker sammen et teleskop.

Litt slik som [tex]5! \, - \, 4 \cdot 4! \, - \, 3 \cdot 3! \, - \, 2 \cdot 2! \, - \, 1 \cdot 1! = 1[/tex]

Som jeg syntes er en veldig stilig teleskoperende rekke =)

Litt mer generellt kan vi si at

[tex](n+1)! \, - \, n \cdot n! \, - \, (n-1) \cdot (n-1)! \ ... \ 1 \cdot 1 ! \, = \, 1[/tex]

Som også kan skrives som

[tex](n+1)! - \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = 1[/tex]

Som kan bevises på akkuratt samme måte. Så selv om en ikke med en gang kan se nytten i slike "triks" så er bare poenget mitt at det ikke blir siste gang du kommer til å møte det. Og det er slike ting som i mine øyne gjør matte litt kult ^^

Selvfølgelig er dette litt over det du skal forvente å klare, poenget mitt er bare at ting du lærer nå, kan brukes til å løse vanskeligere problem =)